Дифференциальные уравнения 1 – го порядка

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение 1-го порядка (далее везде ДУ)– это уравнение вида , которое содержит переменную , переменную у и переменную . Именно наличие символа указывает на то, что переменная у является функцией переменной , т.е. . Проблема в том, что символ у, так же как и символ являются всего лишь значками функции и ее производной. Нет самого главного – формулы, выражающей через х явно или неявно.

Найти эту формулу и означает решить дифференциальное уравнение.

Очень важна другая форма записи дифференциального уравнения – симметрическая или дифференциальная. Она имеет вид

.

Это уравнение описывает зависимость между переменными х, у и их дифференциалами и . Такая запись дифференциального уравнения не навязывает, какую переменную считать независимой, а какую зависимой. Именно поэтому форма называется симметрической. Обе формы дифференциального уравнения легко преобразуются друг в друга с помощью равенства .

Теперь определим, что же является решением ДУ.

Определение. Решение ДУ – это функция , которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение превращает его в тождественное равенство относительно х, т.е.

.

Необходимо подчеркнуть, что каждому дифференциальному уравнению удовлетворяет не одна функция , а бесконечное множество функций , где С -- произвольная постоянная. Чтобы выделить одно нужное решение, достаточно указать, какое числовое значение у ₀ искомая функция должна принимать при заданном значении х ₀.

Задача Коши: найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным данным . Геометрически это означает – найти такое решение дифференциального уравнения, график которого проходит через точку .

Определение. Общим решением ДУ первого порядка называется бесконечное семейство функций , содержащее одну произвольную постоянную и удовлетворяющее двум условиям:

1. при каждом фиксиро­ванном значении С функция является решением ДУ;

2. каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной С = С₀, при котором функция удовлетворяет данному начальному условию.

Решение, получающееся из общего при любом конкретном значении , называется частным решением .

Говорят, что найдено общее решение ДУ, если зависимость у от х получена в виде функция (у выражено через х явно с помощью формулы ).

Говорят, что найден общий интеграл ДУ, если зависимость между у и х получена в виде уравнения , где С -- произвольная константа. В этом случае зависит от неявно через уравнение. Иногда можно из этого уравнения выразить у явно через х. Но, как правило, формула получается очень громоздкой. Иногда такое выражение невозможно в принципе.