Нахождение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод нахождения , т.е. общего решения однородного линейного уравнения . Сначала для него строится так называемое характеристическое уравнение. Это обычное квадратное уравнение с неизвестной : (можно использовать любую другую букву). Не случайно, что его коэффициенты совпадают с коэффициентами однородного линейного уравнения.

Как известно, любое квадратное уравнение имеет три варианта решения. Для каждого варианта своя формула для построения общего решения .

Вариант 1. Þ два разных корня , которые находятся по формуле . Общее решение имеет вид:

, где .

Вариант 2. Þ два одинаковых корня по формуле .

Общее решение имеет вид:

, где

Вариант 3. Þ действительных корней нет, но есть два комплексно-сопряженных корня, которые находятся по формуле =

Напомним, что . Символ - это так называемая мнимая единица со свойством . Хотя корней два, для построения используем только один комплексный корень. Как правило, используется тот, у которого коэффициент при мнимой единице положительный, т.е.

. Обозначим для краткости записи . Тогда

, где .

Пример 21. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни , . Тогда .

Ответ. Общее решение однородного уравнения .

Пример22. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни , . Тогда .

Ответ. Общее решение однородного уравнения .

Пример 23. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни: . Для построения используем только корень . Тогда

или .

Ответ: Общее решение однородного уравнения

.