Дифференциальные уравнения 2– го и 3– го порядков

Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальные уравнения более высоких порядков. Они получаются тогда, когда к зависимости от предъявляется больше требований. Общий вид уравнений 2 – го порядка . Общий вид уравнений 3 – го порядка .

4.1. Дифференциального уравнения 2 – го и 3 – го порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальных уравнений 2 – го и 3 – го порядков много и решаются все они по-разному. Сейчас мы рассмотрим те из них, порядок которых можно понизить до первого.

Пример 20. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

; ; ; ; .

Решение. Очевидно, что . Сделаем замену . Тогда исходное дифференциальное уравнение 3 – го порядка относительно неизвестной функции примет вид - дифференциальное уравнение 1 – го порядка относительно неизвестной функции . Это и есть понижение порядка уравнения до первого. Решить его – это значит найти все функции , производные которых равны . А это значит найти неопределенный интеграл .

, где .

Начнем решать задачу Коши, вспомнив, что :

. Тогда .

Учитывая, что , опять сделаем замену: (можно даже не придумывать новую букву для замены). После замены получим новое дифференциальное уравнение 1 – го порядка: . Найдем его общее решение:

, где .

Продолжим решать задачу Коши, вернувшись от к :

.

Получим , следовательно, .
Третье интегрирование даст нам окончательное решение:

, где .

Закончим решение задачи Коши:

.

Наконец окончательное решение задачи Коши примет вид:

.

Вычислим на калькуляторе: .

Замечание. Возможно, схема решения станет более очевидной, если оформить ее короче.

,

Þ Þ

ß

,

Þ Þ

ß

,

Þ Þ .

Итак, функция, являющаяся решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяющая указанным начальным данным, найдена. Осталось найти её значение при х ₀ = p.

Ответ: Решение задачи Коши – функция .