Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы

Определение 4.6. Матрица A Î M_nn(F) называется обратимой, если $ XÎ M_nn(F) A × X = X × A = E_n.

Матрица X называется обратной матрицей к А и обозначается A^–1.

Определение 4.7. Квадратная матрица А Î M_nn(F) называется неособенной (невырожденной), если ее ранг равен порядку n этой матрицы.

Замечание. Квадратная матрица А Î M_nn(F) является неособенной (невырожденной) тогда и только тогда, когда |A| ¹ 0.

Теорема 4. 2 (критерий обратимости матрицы). Квадратная матрица А Î M_nn (F) обратима тогда и только тогда, когдаона неособенная.

Теорема 4. 3 (о нахождении обратной матрицы).

1) Пусть А – неособенная матрица, А Î M_nn(F). Рассмотрим расширенную матрицу В = (A | Е_n), которая получается из А приписыванием справа матрицы Е_n. Если к матрице В применить элементарные преобразования строк так, чтобы слева от черты получилась матрица Е_n, то справа от черты получится матрица А^-1.

(A | Е_n) ~ …~ … (Е_n | A^–1)

2) Пусть A Î M_nn(F). Если |A| ¹ 0, то A^–1 = × || A_ij|| ^t, где A_ij – алгебраическое дополнение к элементу a_ij матрицы А (1 £ i £ n, 1 £ j £ n).

Пример. Вычислим обратную матрицу А^-1 двумя способами:

А = = rang A =3, значит, матрица A обратима.

Вычислим А^-1.

1. Метод элементарных преобразований: ~ ~ ~ . Таким образом, = .

2. С помощью алгебраических дополнений: A^–1 = × || A_ij || ^t (1 £ i £ n, 1 £ j £ n).

|A| = = (3 + 1 + 0) – (1 – 1 + 0) = 4 0. Поэтому А^-1 обратима.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов данной матрицы, не забывая о их знаках:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹· = 4, A₁₂ = (-1)¹⁺² · = 1, A₁₃ = (-1)¹⁺³ · = 1,

A₂₁ = (-1)²⁺¹ · = – 4, A₂₂ = (-1)²⁺² · = 2, A₂₃ = (-1)²⁺³ · = –2,

A₃₁ = (-1)³⁺¹ · = 0, A₃₂ = (-1)³⁺² · = 1, A₃₃ = (-1)³⁺³ · = 1.

А^-1 = = × = × = .

Проверка: А · А^-1 = · = .

Ответ: А^-1 = .