Билет № 14. Алгебра матриц

Примерный план ответа

Сформулировать определения операций над матрицами, привести примеры, сформулировать свойства, доказать теоремы о векторном пространстве матриц одинаковой размерности и кольце квадратных матриц n -го порядка над полем P, обосновать один из способов вычисления обратной матрицы и матричный способ решения системы линейных уравнений.

Кольцо матриц M_{m n}(F) и векторное пространство матриц M_{m n}(F)

Определение 4.1. Пусть F – некоторое поле, m, n Î N. Прямоугольная таблица вида , где a_ij Î F (1 £ i £ m, 1 £ j £ n), называется прямоугольной (m´ n) - матрицей над полем F с элементами a_ij и обозначают короче || a_ij || или буквами А, В, С,...

Любая строка этой матрицы есть n -мерный арифметический вектор, а любой столбец – m -мерный арифметический вектор.

Множество всех (m´ n)-матриц над полем F будет обозначаться через M_{m n}(F). В случае m = n матрица называется квадратной порядка n.

Определение 4.2. Две матрицы A, B Î M_{m n}(F) называются равными (пишут А = В), если a_ij = b_ij (1 £ i £ m, 1 £ j £ n).

Другими словами, две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы.

На некоторых подмножествах множества M_{m n}(F) можно определить две бинарные операции (+, ·) и две унарные операции (умножение на скаляр и нахождение обратной матрицы).

Определение 4.3. Суммой матриц A = || a_ij ||, B = || b_ij || Î M_{m n}(F) называется матрица С = A+B = || a_ij || + || b_ij || = || a_ij+b_{i j} || Î M_{m n}(F) (1 £ i £ m, 1 £ j £ n).

Определение 4.4. Произведением матрицы A = || a_ij || Î M_mn(F) на скаляр a Î F называется матрица a × A= || a × a_ij ||Î M_{m n}(F) (1 £ i£ m, 1 £ j £ n).

Определение 4.5. Произведение матриц A = || a_is || Î M_mk (F) и B = || b_sj ||, B Î M_{k n}(F) – это матрица С = A× B = || c_ij ||= || a_i1 · b_1j+ a_i2 · b_2j + … + a_ik · a_kj ||, С Î M_mn(F) (1 £ i £ m, 1 £ j £ n, 1 £ s £ k).

Замечание. Сложение матриц и умножения матриц на скаляры являются алгебраическими операциями на M_{m n} (F) – множестве матриц одинаковой размерности m × n, а умножение матриц является алгебраической операцией только на множестве M_nn(F) квадратных матриц порядка n.