Теорема 5.2 (о делении с остатком многочленов над полем)

f (x), (x)Î F [ x ], (x) ¹ 0, q (x), r (x) F [ x ]: (1) f (x) = (x) × q (x) + r (x), причем deg (r (x)) < deg ( (х)) или r (x) = 0.

Замечание. Равенство (1) называется равенством деления с остатком, f (x) называют делимым, (x) – делителем, q (x) – неполным частным, r (x) – остатком.

Следствие 5.3 (о делении на двучлен). Любой многочлен f (x)Î F [ x ] однозначно делится с остатком на двучлен x – а, где а Î F:

f (x) = (x – а) × q (x) + r, где r Î F.

Определение 5.4. Элемент а F называют корнем многочлена f (x), если f (а) = 0.

Следствие 5.4. f (а) = 0 f (x) (х – а).

Доказательство.

Необходимость. Пусть f (а) = 0. Докажем, что f (x) делится на (х – а). Разделим f (x) на (х – а) с остатком, получим) f (x) = (x - а) × q (x) + r, та как f (a) = 0 по условию, то 0 = 0 + r, Следовательно, r = 0, т.е. f (x) (x - а).

Достаточность. Пусть f (x) (x - а), докажем, что f (а) = 0. Разделим f (x) на (x - а), получим: f (x) = (x - а) × q (x) + 0, подставим а, получим:

f (а) = (а - а) × q (а) + 0 f (а) = 0.

Замечание. Если f (x) делится на (х – а) ^k , но f (x) не делится на (х – а)^k+1, тогда а называют корнем кратности k.

Следствие 5.5 (теорема Безу) Остаток r от деления многочлена f (x)Î F [ x ] на двучлен (х – а), (а F) равен значению многочлена в точке а, т.е. r = f (а)Î F.

Доказательство.

Действительно: f (x) = (x – а) × q (x) + r, тогда f (а) = r.