Геометрическая интерпретация действий

Операции над комплексными числами также могут быть осмыслены с геометрической точки зрения. Так, операции сложения z ₁ + z ₂ (вычитания z ₁ – z ₂ = z ₁ + (– z ₂) двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ в алгебраической записи соответствуют операции сложения двух векторов по правилу параллелограмма (рис. 3).

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, чтобы умножить комплексное число z₁ на z₂ нужно длину вектора z₁ изменить в | z₂ | раза (растянуть или сжать), а затем полученный вектор повернуть вокруг начала координат на угол arg z₂ (рис. 4)

Геометрический смысл операции состоит в делении окружности радиуса на n равных частей.

Пример. Вычислить и изобразить все его значения геометрически.

Представим комплексное число z = – 4 в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.

| – 4 | = 4, arg (– 4) = , – 4 = 4 (cos + i · sin )

Тогда , k = 0, 1, 2, 3.

Придавая параметру k значения 0, 1, 2, 3, получаем четыре значения корня четвертой степени из 4.

z₀ = ,

z₁ = ,

z₂ = ,

z₃ = .

Изобразим найденные корни на комплексной плоскости, они делят окружность радиуса на четыре равные части. Кроме того, мы вписали в эту окружность правильный четырехугольник (квадрат) (рис. 5).

Замечание. Часто при решении задач используется геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, как расстояния между двумя точками на плоскости. | z₁ – z₂ | = (z₁, z₂).

Пример. Найти геометрическое место точек, для которых

| z – (2 + i) | 3