Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Схема Горнера и её примененияСуществует алгоритм деления многочлена f (x) на (x – a), который называется схемой Горнера. Пусть f (x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0, deg f (x) = n, an 0. Разделим f (x) на (x – a), получим: (*) f (x) = (x – а) × q (x) + r, где r Î F, deg q (x) = n – 1. Запишем q (x) = bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + … + b1 x + b0. Тогда подставив в равенство (*) вместо f (x) и q (x) их выражения, получим: an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 = (х – а) (bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 + … + b1 x + b0) + r Так как многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны. r – ab0 = a0 r = a0 + ab0 b0 – ab1 = a1 b0 = a1 + ab1 …………….. …………… bn-1 = an an = an-1 Вычисление коэффициентов многочлена q (x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).
a С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач: 1. Найти q(x) и r при делении f (x) на (х – а); 2. Вычислить значение многочлена f (x) при x = a; 3. Выяснить, будет ли х = а корнем многочлена f (x), а F; 4. Определить кратность корня; 5. Разложить многочлен по степеням (х – а). 6. Вычислить значение многочлена f (x) и всех его производных при х = а. Пример. Пусть f (x) = x 5 – 15 x4 + 76 x3 – 140 x2 + 7 5x – 125 и а = 5. Составим схему Горнера:
1. Вычислим неполное частное q (x) и остаток r при делении f (x) на (х – 5). Во второй строке таблицы видим, что коэффициенты частного q (x) равны: 1, – 10, 26, – 10, 25, поэтому q (x) = 1 х4 – 10 х3 + 26 х2 – 10 х + 25, а остаток r равен 0. 2. Вычислим значение многочлена f (x) при x = 5. Воспользуемся теоремой Безу: f (5) = r = 0. 3. Выясним, будет ли х = 5 корнем многочлена f (x). По определению а – корень f (x), если f (а) = 0. Так как f (5) = r = 0, то 5 – корень f (x). 4. Из второй, третьей и четвертой строк таблицы мы видим, что f (x) делится на (х – 5)3, но f (x) не делится на (х – 5)4. Следовательно, число корень 5 имеет кратность 3. 5. Разложим многочлен f (x) по степеням (х – 5), коэффициенты разложения с0, с1, с2, с3, с4, с5 получаются в последних клетках второй, третьей, четвертой, пятой, шестой и седьмой строки схемы Горнера: f (x) = с0 + с1(х – 5)+ с2(х – 5)2 + с3 (х – 5)3 + с4(х – 5)4 + с5 (х – 5)5 или f (x) = 26 (х – 5)3 + 10 (х – 5)4 + (х – 5)5. 6. Вычислим значение многочлена f (x) и всех его производных при х = 5. с0 = f (5) = 0, с1 = f ′ (5) = 0, с2 = = 0 f ′′(5) = 0, с3 = = 26 f ′′′ (5) = 26 ∙ 3! = 156, с4 = = 10 f ′ v(5) = 10 ∙ 4! = 240, с5 = = 1 f v(5) = 1 ∙ 5! = 120. МЕТОДИКА 15. «Логарифмическая функция». 1. Логико – математический анализ темы. Данная тема изучается в 10 классе. Основные понятия: Функцию, заданную формулой у=logах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а. Термин – логарифмическая функция. Род – функция. Видовые отличия: 1) а>0, а≠0; 2) функция задана формулой у=logах. Основные предложения: Свойства логарифмической функции. 1°. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+, т.е. D(log)=R+. 2°. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел. 3°. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1). Справедливо следующее утверждение: графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х. Основные идеи и методы изучения: Определения понятий явные, через ближайший род и видовые отличия – конструктивные. Методы доказательства: Дедуктивные (на основе определения) с использованием математических методов: логарифмирование степени, основные свойства степени, метод от противного. Например, свойство о том, что при а>1 функция возрастает, доказывается с помощью определения возрастающей функции, при этом применяется метод от противного.
- найти область определения функции; - построить график функции; - найти область значения функции; - найти промежутки знакопостоянства функции; - исследовать функцию и построить ее график; - найти наибольшее и наименьшее значение функции; - найти значение выражения. Типичные ошибки и затруднения изучения темы
Математические ошибки: ü вычислительные ошибки: при решении уравнений и неравенств, при нахождении значений функции, при действиях со степенями; ü логические ошибки: в выполнении тождественных преобразований, в использовании свойств логарифмов, при определении понятий, при выводе формул; ü графические ошибки: при построении графиков функций (не учитывают свойства функций); неправильно применяют преобразование графиков. 3. методы и приемы работы учащихся с учебником математики в соответствии с возрастными особенностями учащихся. В 5-6 классах используют следующие методы работы с учебником: 1. чтение правил, определений, формулировок теорем учащимися после объяснения учителя 2. чтение вслух учителя ученикам с выделением главного и существенного 3. работа с формулами и иллюстрациями на обложке учебника 4. чтение учебника учащимися и ответы на вопросы учителя В 7-8 классах добавляются следующие методы работы с учебником: 1. чтение текстов после их объяснения учителем 2. чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы 3. чтение текста из учебника учащимися и запись основных предложений темы по плану, предложенному учителем В 9 – 11 классах ко всему предложенному добавляется: 1. разбор примеров учащимися в учебнике, после объяснения темы учителем 2. чтение текста учащимися и запись опорного конспекта по данному тексту 3. чтение текста учебника и самостоятельное составление учащимися плана по данному тексту. 4. чтение текста учебника и ответ учащегося по самостоятельно составленному плану
2. Фрагмент урока изучения новой темы: «Логарифмическая функция». Цели урока: Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоения понятия логарифмическая функция, формировать умения определять свойства логарифмических функций, формировать умение изображать графики логарифмической функции. Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, воображению, внимания. Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: аккуратность, настойчивость, трудолюбие. Тип урока: изучение нового материала Структура урока: 1.организационный момент; 2. постановка целей урока; 3.проверка домашнего задания; 4. подготовка к изучению нового материала; 5. изучение нового материала; 6.первичное закрепление и осмысление нового материала; 7.постановка домашнего задания; 8.подведение итогов урока.;
|