Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение и простейшие свойства векторных пространств. ПримерыПусть V – непустое множество, состоящее из элементов произвольной природы. Будем обозначать его элементы малыми буквами латинского алфавита, и называть векторами. Пусть дано произвольное поле F = (F, +, ·), элементы которого будем обозначать малыми буквами греческого алфавита, и называть скалярами. Зададим на множестве V бинарную операцию +: V×V V, +: (а, b) с, где а, b, c V и назовем ее сложением векторов ( а, b V а + b V). Определим также внешнюю композицию w : F × V V, w : (, а) а и назовем ее умножением скаляра на вектор ( F а V а V). Определение. 3.1. Алгебра V = (V, +, { w | F }) называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия (аксиомы): 1 – 4. (V, +) – абелева группа. 5. а V 1 ∙ а V. 6. F а V () ∙ а = ( ∙ а) (умножение на скаляр ассоциативно). 7. F а V () ∙ а= а + ∙ а (умножение на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению векторов). 8. F а, b V ∙ (а + b) = а + ∙ b (умножение вектора на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению скаляров). Замечание 1. Если F = R, то V над R называют вещественным векторным пространством, если F = C, то V над C называют комплексным векторным пространством. Примеры. 1. Rn – арифметическое векторное пространство, в котором любой вектор а Rn представляет собой упорядоченный набор из n действительных чисел, то есть а = (), где R (i = 1, 2, …, n); в Rn операция сложения векторов и умножение на скаляр задается правилами: а) a + b = () + () = (); б) · а = · () = (). 2. Мnn(R) – векторное пространство квадратных матриц n -го порядка над полем R. Любой вектор в этом пространстве представляет собой квадратную матрицу вида:
А + B = || aij || + || bij || = || aij + bij ||, i, j = 0, 1, 2,…, n; · || aij || = || аij ||. 3. V2 – векторное пространство геометрических векторов плоскости. 4. V3 – векторное пространство геометрических векторов трехмерного пространства. Замечание 2. Из определения следует, что любое векторное пространство V над F прежде всего является аддитивной абелевой группой, поэтому все свойства абелевых групп справедливы и для векторных пространств. В след. теореме сформулируем простейшие свойства (следствия из определения V над полем F). Теорема 3.1. Если V векторное пространство над полем F, то а, b V, F: 10. (a + b = a) (b = ) 20. (a + b = ) (b = – a) 30. ( a = b 0) (a = b) 40. ( a = a a ) () 50. ( a = ) ( = 0 a = ) 60. 0∙ a = 70. ∙ = . Для доказательства всех этих утверждений используются свойства аддитивной группы векторного пространства и другие аксиомы. 10. Действительно, (a + b = a) (b = ), так как (V, +) – абелева группа, в которой существует единственный V: а V a + = а. 20. Аналогично в группе (V, +) а V !(- а) V: а + (- а) = (- а) + а = , следовательно, b = - a. 30. ( a = b 0) (a = b) так как F, а F – поле, то в нем F ( 0) F · = · = 1 и тогда · ( а) = · ( b) ( · ) а = ( · ) b (a = b). 60. 0 ∙ a = . Действительно, 0 · а = (0 + 0) · а = 0 · а + 0 · а, отсюда по свойству 10 следует, что 0 · а = . Аналогично можно доказать остальные свойства.
|