Теорема о поле комплексных чисел

Назовем мнимой единицей символ i, удовлетворяющий единственному свойству: i² = – 1.

Теорема 2.1. Существует единственное, с точностью до изоморфизма поле (С, +, ×), называемое полем комплексных чисел, в котором выполняются следующие условия:

1. Поле действительных чисел (R, +, ×) является подполем в (С, +, ×),

2. $ i Î C i² = – 1.

3. " z Î C $! a, b Î R z = a + i× b.

Запись комплексного числа z в виде a + i× b называется его алгебраической формой записи, при этом а называют действительной частью комплексного числа z, i× b – мнимой частью, а b – коэффициентом мнимой части.

Обозначение: Re z – действительная часть, I m z – мнимая часть комплексного числа.

При доказательстве этой теоремы устанавливаются следующие правила сложения, умножения и деления в поле комплексных чисел для чисел в алгебраической форме записи:

(a + i × b) + (c + i × d) = (a + c) + i × (b + d), (1)

(a + i× b) × (c + i× d) = (a × c – b × d) + i × (a × d + b × c), (2)

(a + i × b) – (c + i × d) = (a – c) + i × (b –d), (3)

= + i × , где на (c + i × d) 0 (4)

На практике обычно формулы (3) и (4) не запоминают, а руководствуются такими мнемическими правилами:

а) чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их как два двучлена;

б) чтобы разделить (a + i × b) на (c + i × d) 0, нужно числитель и знаменатель домножить на комплексное число, сопряженное знаменателю и выполнить указанные действия ((c – i × d) называют сопряженным по отношению к (c + i × d)).

Примеры. 1. (2 + i · 5) + (3 + i · (-4)) = (2 + 3) + i · (5 – 4) = 5 + i

2. (2 + i × (–3)) × (1 – i) – = (–1 – i × 5) – = (– 1 – i × 5) – – = + i × ().

Так как (z = a + i · b) (C = R × R), то с геометрической точки зрения, любое комплексное число имеет две равноправные геометрические интерпретации (модели).

1) точка координатной плоскости А (а, b);

2) радиус-вектор с концом в точке с координатами (а, b).