Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола

Коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки , яку називають центром кола; – радіус кола.

Рівняння кола має вид (3.12). Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола має вид (3.13)

	;	(3.12)
.	(3.13)
Рис. 3.5

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина більша за відстань між фокусами.

	та – фокуси еліпса; – велика піввісь; – мала піввісь; – фокусна відстань; – ексцентриситет; – рівняння директрис.
Рис. 3.6

Канонічне рівняння еліпса з фокусами на осі має вид

.

(3.14)

Основна властивість еліпса полягає у співвідношенні

.

(3.15)

Форма еліпса характеризується ексцентриситетом. Значення ексцентриситету оцінює «сплющеність» еліпса.

.

(3.16)

Якщо , то при маємо коло, при , – відрізок. Це випадки виродженого еліпса.

Відстань деякої точки еліпса до його фокусів називаються фокальними радіусами:

– правий, – лівий,	(3.17)
.	(3.18)

Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина менша за відстань між фокусами.

	та – фокуси гіперболи; – дійсна піввісь; – уявна піввісь; – фокусна відстань; – ексцентриситет; – рівняння директрис; – рівняння асимптот.
Рис. 3.7

Канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі має вид

.

(3.19)

Основна властивість гіперболи полягає у співвідношенні

.

(3.20)

Значення ексцентриситету гіперболи

.

(3.21)

Відстань деякої точки гіперболи до його фокусів називаються фокальними радіусами:

– правий, – лівий,	(3.22)
.	(3.23)

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки , яка називається фокусом, і від заданої прямої , яка називається директрисою.

	– фокус параболи;   – рівняння директриси.
Рис. 3.8

Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі має вид

.

(3.24)

Якщо , то вітки параболи розташовані праворуч, а якщо – ліворуч.

Парабола симетрична відносно осі : якщо , то вітки даної параболи розташовані догори, а якщо – донизу.

Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”

Завдання І. Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:

1) рівняння сторони АВ, записати його у вигляді рівняння у відрізках;

2) рівняння прямої BK, що проходить через точку В паралельно стороні АС;

3) рівняння висоти СD та її довжини;

4) кут між висотою CD та медіаною ВМ;

5) побудувати усі лінії.

Завдання ІІ. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.

Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Варіант 26
Варіант 27
Варіант 28
Варіант 29
Варіант 30