Дифференциалы высших порядков. Формулы Лейбница.

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Определение. Дифференциалом 2-го порядка (d²y) от f(x) называют дифференциал от ее дифференциала:

d²y=d(dy)

Найдем его выражение через производную. Так как dy=y¢dx Þ (dx не зависит от x и следовательно dx есть постоянная относительно x и (dx)¢=0)

d²y=d(dy)=d(y¢dx)=(y¢dx)¢×dx=(y¢)¢×dx×dx=y¢¢ dx².

Таким образом второй дифференциал от f(x) есть произведение f¢¢(x) на квадрат dx - dx²

d²y=y¢¢×dx²

Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков.

d⁽ⁿ⁺¹⁾y=d(dⁿy)

Методом индукции можно доказать, что

d⁽ⁿ⁾y= y⁽ⁿ⁾(dxⁿ) Þ

Последнее обозначение эквивалентно y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x) и тому подобному.

Дифференциалы, начиная со 2-го порядка, не обладают свойством инвариантности. Пусть y=f(u) и u=j(x) Þ dy=y¢_udu

Так как u=j(x) Þ du=u¢_xdx есть также функция x Þ

d²y=d(y¢_u)=d(y¢_u)du+y¢_ud(du)=y¢¢_udu²+y¢_ud²u

Таким образом в выражении d²y появляется дополнительное слагаемое.

Формула Лейбница.

В заключение этого раздела приведем формулу Лейбница, которая позволяет вычислить производную или дифференциал n -го порядка от произведения 2-х функций.

y=u×v

y¢=u¢×v+v¢×u

y¢¢=u¢¢×v+2×u¢v¢+v¢¢×u

y¢¢¢=u¢¢¢×v+3×u¢¢v¢+3×u¢v¢¢+v¢¢¢×u

…..

Отсюда вытекает общее формальное правило:

Чтобы найти производную (дифференциал) от (u×v)⁽ⁿ⁾ надо по формуле бинома Ньютона разложить n -ю степень суммы (u+v)ⁿ и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u⁰ и v⁰),входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).

Для дифференциала n -го порядка справедлива формула

dⁿ(u×v)=(u×v)⁽ⁿ⁾×dxⁿ

dy=v×du+u×dv

d²y=v×d²u+2×du×dv+u×d²v

d³y=v×d³u+3×d²u×dv+3×du×d²v +u×d³v и т.п.