Дифференцирование неявно заданных функций!!!

Если f(x)ºj(x) Þ f|(x)ºj¢(x).

Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:

(*) x²+y³=a² –определяет ,подставляя которую в (*),получим тождество: , Þ

что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y¢,которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y¢=y¢(x) и y=y(x).

Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.

Дифференцируя (*), найдем

2x+3y²y¢=0 Þ

Правило. Если F(x,y)=0 Þ для нахождения y¢ надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y¢,найдем выражение y¢ через x и y.

Примеры

1) x³+y³-3axy=0

2) x×e^y+y=a

Дифференцирование функций заданных параметрически и в полярной системе координат!!!

Параметрически

Пусть теперь x=j(t) и y=y(t), где j(t) и y (t) - дифференцируемые функции, и j¢¹ 0. Естественно, что j (x) и y (x) непрерывны и поэтому при Dt®0, Dx®0 и Dy®0.

Так как j¢ (t)¹0Þ x=j(t) -монотонная функция и поэтому Dt и Dx ®0 одновременно. Тогда

Примеры x=a×cost, y =a×sin t

x=a×(t-sin t), y=a×(1-cost) (y¢=ctg(t/2))