Раскрытие неопределенности вида ( ) при x®a и при x®¥. Правило Бернулли-Лопиталя!!!

Неопределенность (x®a). Пусть теперь нужно найти , если

П усть f и j дифференцируемы вблизи a, и j¢ (x)¹0.

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) , то

Доказательство. Пусть x₁ и x₂ Î окрестности x=a, и пусть x₁<x₂<a, если точки берутся слева от a, или x₁>x₂>a - если справа.Тогда на отрезке [x₁,x₂] или [x₂,x₁]) к отношению f(x) и j (x) применима теорема Коши:

cÎ[ x₁,x₂ ]

Далее пусть

Зададим теперь e >0 и найдем d ( e )>0 такое, что при |x-a|< d ( e ) Þ

(*)

Выберем теперь x так, чтобы |x₁-a|< d ( e ) и зафиксируем его. Тогда, согласно условию выбора x ₂ Þ |x₂-a|< d ( e ) и |c-a|< d ( e ), так как cÎ[ x₁,x₂ ]. Поэтому, в силу ( * ) будем иметь:

или

Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим

Þ

(1)

Если теперь x₂®a, не изменяя x₁, то, так как ,

другими словами при заданном e, найдется d ₁( e ), что при |x₂-a|< d ₁( e ) Þ

или

(1)

Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно, так как все члены неравенства (2) положительны), получим

и

Другими словами разность между и постоянной A будет бесконечно малой величиной.

Следовательно и следовательно

(3)

Пусть теперь .Тогда f¢(x)¹0 в некоторой малой окрестности a (иначе не было бы бесконечно большой величиной). С другой стороны , а поэтому к обратному отношению применимо предыдущее правило:

Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).

Неопределенность (x®¥). Правило применимо, если f(x) и j(x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем j¢ (x)¹0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .

Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для предыдущего случая.

Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной

.