Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл!!!

Теорема Ферма. Если f(x) непрерывна на (a,b) и в x₀Î(a,b) достигает максимума (минимума) и дифференцируема в x₀, то ее производная в этой точке равна 0:

f¢(x₀)=0

Доказательство. Допустим, что f(x₀) –максимум (минимум) функции. При достаточно малых D x, точка x₀+Dx независимо от знака D x.

a) Пусть D x>0 Þ , переходя к пределу при D x®+0 получим: , как предел неположительной величины.

b) D x<0 Þ

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа Þ f¢(x₀)=0, теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство и для x₀ - точки минимума, и для случая строгих неравенств.

Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.

рисунок

Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), а на концах [a,b] принимает равные значения: f(a)=f(b)=c,то в промежутке (a,b) найдется точка x₀ (по крайней мере одна), в которой f¢(x₀)=0.

Доказательство. Рассмотрим случай f(x)ºc, xÎ[a,b], удовлетворяющий условиям теоремы: Þ f¢(x)=(c)¢=0 длялюбых x₀.

Если же f(x)¹c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:

a) f(a)=f(b)=m, Þ f(x) достигнет наибольшего M в x₀Î(a,b), то есть внутренней точке [a,b]. В точке x₀ функция дифференцируема и тогда по теореме Ферма Þ f¢(x₀)=0.

b) f(a)=f(b)=M, Þ f(x) достигнет минимума в некоторой x₀Î(a,b), и снова, по теореме Ферма Þ f¢(x₀)=0.

c) Пусть теперь f(x) такова, что f (x₀)=M и Þ f (x₀ ¢ )=m, x₀,x₀ ¢ Î(a,b), Þ f¢(x₀)=0 и f¢(x₀ ¢ )=0 по теореме Ферма.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x₀, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.

Нарушение хотя бы одного из условий ведет к нарушению вывода из теоремы.

Рисунок Рисунок Рисунок

В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.

Теорема Коши. Если f(x) и j (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем j¢ (x)¹0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:

j (b)¹j(a) т.к. j¢(x) ¹0 на (a,b) Û т.Ролля.

Доказательство. Введем вспомогательную F(x)=f(x)-l×j(x),где l =const. Выберем теперь l такое, чтобы F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Достаточно потребовать, чтобы F(a)=F(b). Другими словами:

F(a) -l×j (a)=f(b)- l×j (b) Þ

-конечное значение, т.к. j(b)¹j(a)

Тогда хотя бы в одной точке cÎ(a,b) F¢(c)=0 Þ Þ

Теорема доказана.

Теорема Лагранжа (частный случай теоремы Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b). Тогда конечное приращение f(x) на [a,b] равно произведению длины отрезка [a,b] на значение производной в некоторой внутренней точке (a,b):

f(a)-f(b)=f¢(c)×(b-a)

Полагая в теореме Коши j (x)=x получим: j (b)-j(a)=b-a, j¢(x)º1 Þ j¢(c)=1

Поэтому

(*) т.е.

f(b)-f(a)=f¢(c)×(b-a)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой ( * ). В ней левая часть есть угловой коэффициент хорды MN, соединяющей концы графической функции

РИСУНОК

Правая часть формулы – угловой коэффициент в точке P с абсциссой x=cÎ(a,b)

f¢(c)=tg a Þ tg b=tg a, то есть хорда и касательная параллельны.

Таким образом, на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=j(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.