Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
В полярной системе координатПонятие о дифференциале функции и его геометрический смысл. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции. Для любой дифференцируемой f(x) связь между D y и D x записывается в виде (*) D y=(y¢+a)Dx=y¢Dx+aDx Величина a - бесконечно малая вместе с D x, то есть В силу этого a×D x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с D x, а y¢×Dx -бесконечно малая величина того же порядка, что и D x, если y¢¹0 при данном x. Таким образом (*) определяет бесконечно малую D y (y¢¹0) в виде суммы двух слагаемых: y¢×Dx=O(Dx) и a×Dx=o(Dx). Поэтому y¢×Dx - будет главной частью приращения D y, причем пропорциональной D x. Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом: (* * ) dy=y¢×Dx Если (* * ) применить к аргументу x, то так как (x)¢=1 Þ dx=(x)¢Dx=1×Dx=Dx Поэтому dy=y¢×Dx Внося dy и dx в ( * ) получим: (** * ) Dy=dy+a×dx Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции: 1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента (то есть независимой переменной). d y= y¢×Dx 2. Разность между приращением функции D y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с D x D y-dy=o(Dx) а также (при y¢¹0) высшего порядка по сравнению с D y или dy
D y-dy=o(Dy) ( т.к. Dy=O(Dx), D y-dy=o(dy) ( т.к. dy=y¢×Dx) 3. В силу последнего свойства, при y¢¹0 приращение D y и дифференциал dy при бесконечно малом D x являются равносильными бесконечно малыми величинами: dy~Dy Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл: Значение дифференциала функции при данных x и Dx равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+Dx. !!!!!!!Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции. . Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при : ( - бесконечно малая). Геометрический смысл дифференциала: П роведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому или . Это означает, что дифференциал функции в равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение . Приближенные вычисления: !!!!!!!
|