Ряд Тейлора

Пусть ф. f(x) разложена в нек-м интервале (x₀-R, x₀+R) в степ. ряд: . Продифф-м данный ряд и последующие ряды:

все эти ряды сх-ся в интервале (x₀-R, x₀+R), т.е. эти рав-ва верны в точке этого интервала. Пусть х=х₀: f(x₀)=c₀, f¹(x₀)=1!c₁, f^//(x₀)=2!c₂, …, f⁽ⁿ⁾(x_­0)=n!c_n => c₀= f(x₀), c₁= f¹(x₀)/1!, c₂= f^//(x₀)/2!, …, c_n= f⁽ⁿ⁾(x_­0)/n!. Мы получили, что если ф. разлагается в степ ряд, то он единств, т.к. его коэф. определ. 1! образом выше полученными формулами. Очевидно, что необх. усл разложимости ф в степ. ряд явл-ся её -я дифференц-ть. Если ф. разложена в ряд, т.е. имеет место рав-во , тогда говорят имеет место разлож ф. в окр-ти т. х₀. Обратно: Пусть ф. f(x) дифференц-ма в окр-ти т. х₀, тогда мы м. формально для нее построить ряд

к-й назыв. рядом Тейлора для ф. f(x), а его коэф. – коэф. Тейлора. Этот ряд как и все степ сх-ся в точке х_0­, но возникает 2 вопр.: – сх-ся ли данный ряд ещё где-нибудь кроме т. х₀; – сх-ся ли он к ф. f(x) в этих точках или к какой-либо др. ф.