Многоугольники

М-мног-к.

Опр. Сист-ма измерения площ-ей мног-ка наз. отображ. σ, ставящее в соответ-е каждому мног-ку М®σ_м>0, удовлет. след. услов-м:

1.σ –однознач.отображ-е.

2.σ –инвариант. М₁=М₂ ® σ_м1 = σ_м2

3.аддитив-ть. М=М₁+М₂ ® σ_м=σ_м1+σ_м2

Многоуг-к Е-мера площади.

σ_е=1. Док-м, что сист. измер-я сущ-т.

Площ. прямоуг. σ_прям.= σ_парал.=λ_а λ_h

Площ. треуг. σ_тр.= λ_а λ_h Из этих формул след-т един-ть измер-я.

Зададим σ след. образом: каждому треуг-ку ставим в соответ-е его меру: S® σ_тр.= λ_а λ_h

Мног. М® σ_м= . σ_Si- мера площ-ей треуг., из который-х составлен мног-к.

Теор. Мера площ. треуг-ка не завис.от выбора основания.

АDC¥ BKC

, AD=h_a, BK=h_b, ,

λ_aλ_ha =λ_bλ_hb

Теор. Мера площ-ди треуг-ка, разбитого на треуг. части, равна сумме мер площадей этих частей.

1.Трансверсальное разбиение.

2.Поперечное разб-е.

Его мера площади равна сумме мер площадей.

3. Произвольное разб-е

.

Док-м мет. полн. мат. индукции.

1) n=0. это либо трансверсаль либо поперечн. сечение.

2) Предполож. что теор. вып-ся для люб. n 0.

3) Док-м для n+1 вершин, не леж-х на боковых стор-х.

BD-трансверсаль. σ_ABC =σ_ABD+σ_BDC.

σ_ABD= , σ_BDC= , S_i,T_i-треуг-ки окончат-го разбиения. В итоге получаем, мера площади треуг-ка дан-го разбиения равна сумме мер площадей треуг. окончат-го разбиения.

Теор. Мера площади мног-ка не зависит от способа его разбиения на треуг-е части.

Теор. Если мног-ки равны, то они разбиваются на попарно равные части.

Док-во. M₁=S₁+S₂ ,M₂=S₃ +S₄ +S₅

M=M₁+M₂, σ_M= σ_Si=σ_M1+σ_M2

Теор. Равные мног-ки имеют равные меры.

Док-во. Равные мног-ки разбив-ся на попарно рав-е треуг-ки. А равные треуг. имеют равные меры, т.к. имеют равные основания и равные высоты. Поэтому меры мног-в равны.

Теор. Мера площади треуг-ка и мног-ка >0.

Мног-ки, имеющие рав.меры наз. равновеликими.

Соотнош-е равновелик-ти сим., рефлекс., транзит-но. Это след-т из того, что что рав-во мер облад-т этими св-ми. Общее св-во всех равновеликих мног-в наз. их площадью.