Степенные ряды и их основные свойства

О. Степенным рядом наз. функциональный ряд вида , где x_o, Cn

(n=0,1,2,…) заданные числа. C_n-коэф. степенного ряда.

Если сделать замену x-x_o=t, получ. ряд . В дальнейшем будем рассм-ть ряды вида

. Очевидно, что этот ряд сход-ся в т. x=0 и его сумма в эт. точке равна C_o.

Теорема Абеля.

Т. Если ряд (1) сх-ся в т.x_{1 0,} то он сх-ся и при абсолютно в люб. т. x, удовлет-ей

нер-ву .

Док-во. Т.к. числовой ряд сх-ся по условию, то по необходимому признаку сх-ти имеем: .

Т.к. всякая сход-ся посл-ть ограничена, то . Возьмем произвольн. точку x, и составим ряд (2) . Оценим общий член ряда (2).

. Обозначим , . Тогда . Т.к. ряд явл. геом. прогресс., , то он сх-ся. Тогда по призн. сравнения в нерав-х, ряд (2) сх-ся, что и означает абсолютную сход-ть ряда (1) в т. x.

Следствие. Если ряд (1) расх-ся в т. x₂ , то он расх-ся в люб. т. x, удовлетв-ей нер-ву: .

Док-во. Докажем методом от против-го. Допустим, что , что и ряд в ней сх-ся. Тогда по т. Абеля, ряд должен сх-ся в т. x₂, что противоречит условию.