Св-ва степ. рядов

1.Равномер. сх-ть степ-го ряда.

Т. Степ. ряд (1) равномерно сх-ся на отрезке [-r,r], лежащем внутри интервала сх-ти.

Док-во. Т.к. r (-R,R), то ряд (1) сх-ся в ней абсолютно, т.е. сх-ся ряд (2) - числовой, положит, сход-ся. Для т.x, удовлетв-х нер-ву: имеем , т.е. ряд (2) можарирующий для ряда (1) на множ-ве [-r,r]. Тогда по признаку Вейерштрасса ряд (1) сх-ся равномерно.

Т.к. члены ряда ф-ии непрерывны, то получ. следствия:

1.Сумма степенного ряда непрерывна на люб. отрезке, лежащем внутри интервала сх-ти.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на люб. отрезке, лежащем внутри интервала сх-ти.

(2).

Ряд (2) сх-ся при всех .

Следствия:

1. Степенной ряд можно почленно диф-ть и интегр-ть на люб. отрезке, лежащем нутрии интервала сх-ти.

2. Сумма степ. ряда- ф-я непрер-я внутри интервала сх-ти.

Пример.

Разложить ф-ю в ряд.

,

- ряд сх-ся.

Внутри ин.(-1,1) ряд можно почленно инт-ть.

, -обл. сх-ти.

Аналогич. разлож. arctgx в ряд.