Кольцо целых действительных чисел

Цел числа возник при расшир мн-ва натур чис в связи с тем, что в N не всегда выполн опер вычит. Т.о. возник задача: построить мн-во, содерж мн. N чисел, в кот. вып-ся операции “+” и “*” с теми же св-ми, что и для натур-х, и вып-сь операция “-”.

<N,+,*>- полукольцо. После введ “-” построен мн-во будет образ-ть кольцо. Миним из таких колец- кольцо цел чисел.

Цел числ А делится на цел числ В, если $ единств цел числ С такое, что А=В×С.

Св-ва делимости: 1. "аÎZ, a¹0 а:а.; 2. а:b не Þ b:a.;3. a:b, b:c Þ a:c.; 4. a:с, b:c Þ (a±b):c.;5. a:b, "tÎZ, at:b.;6. a₁,...,a_k:b, "t₁,...,t_kÎZ, a₁t₁+...+a_kt_k :b.;7. (a+b):c, a:c, то b:c.

Т: Для "a, bÎZ, b¹0, $! q, rÎZ такие, что a=bq+r, где 0£r£½b½.

Док-во. 1. Сущ-ие q и r. 1) b>0. Выпиш целоч кратн числа в пор-е возраст-я:...,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,... Выберем наибольш кратное, не превосход а: bq£a; т.к. bq-наиб, следующее кратное: b(q+1) превосход а. Получ дв-е нер-во: bq£a<b(q+1); 0£a-bq<b. Обозн. a-bq=r. 0£r<b, т.к. b>0. ½b½=b, 0£r<½b½. a=bq+r. 2) b<0. Поступая аналог, получ: bq£a<b(q-1), 0£a-bq<-b. Обозн. a-bq=r. a=bq+r, 0£r<-b. Т.к. b<0, ½b½=-b, 0£r<½b½.

2. Единст-ть q и r. Пусть a=bq₁+r₁ и a=bq₂+r₂, 0£r₁,r₂<½b½. bq₁+r₁=bq₂+r₂, b(q₁-q₂)=r₂-r₁ Þ ½b(q₁-q₂)½=½r₂-r₁½, ½b½×½q₁-q₂½=½r₁-r₂½. Пусть q₁¹q₂. Оценим последнее рав-во. Т.к. q₁, q₂ÎZ, q₁¹q₂, ½q₁-q₂½³1 Þ ½b½×½q₁-q₂½³½b½. Т.к. 0£r₁,r₂<½b½, то 0£r₁<½b½ и 0£r₂<½b½ или 0£r₂<½b½ и -½b½<-r₁£0 Þ ½r₂-r₁½<½b½. Получаем ½b½×½q₁-q₂½=½r₂-r₁½. Левая часть >½b½, правая часть <½b½, что невозможно. Þ q₁=q₂ Þ ½r₂-r₁½=0, т.е. r₂=r₁. Док-но.

Число с наз. общим делителем чисел a и b, если a:c и b:c. Наибольшее из мн-ва общих делителей – НОД чисел a и b.

Св-ва НОД: 1. НОД чисел a и b делится на " их общий делитель. 2. "kÎZ, (ak,bk)=k(a,b).

Т.1. Если a:b, то (a,b)=b.

Т.2. Если a=bq+r. то (a,b)=(b,r).

Алгор Евклида. Пусть a,bÎZ, b¹0. Примен к a и b процесс последоват делен. (1) a=bq₁+r₁, 0£r₁<½b½. (2) b=r₁q₂+r₂, 0£r₂<r₁. (3) r₁=r₂q₃+r₃, 0£r₃<r₂.... (n+1) r_n-1=q_n+1r_n, r_n+1=0.

НОД чисел a и b равен последнему, ¹0, остатку в процессе последов-го деления.

Док-во.Процесс послед-го делен будет конечн, т.к. остатки r₁,r₂,...,r_n образ убыв послед-ть нат-х чисел. (a,b)=(b,r₁)=(r₁,r₂)=...=(r_n-1,r_n)=r_n. Док-но.

aÎZ кратно bÎZ, если а:b. а- общее кратное чисел b и c, если a:b и a:c. Для "a,b есть общее кратное, напр. аb. Для определения НОК рассм. только те кратные, кот. явл. натур-ми числами. Св-ва НОК: 1. НОК явл-ся делителем " общего кратного данных чисел. 2. [ ka,kb ]=k[ a, b ].

Т: .