Теорема Лагранжа. Формулировка, доказательство, анализ, применение

Формулировка:

Если функция f(x) определенна и непрерывна в [a;b], и если "x є (a;b) существует конечная производная f’(x), то $ с є (a;b): .

Доказательство:

Введём вспомогательную функцию j(x), удовлетворяющую теореме Ролля такую, чтобы

j’(c) = 0, с є (a;b). Пусть тогда нужно доказать, что . Вспомним, что функция j(x), удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а это значит, что j(a) = j(b) , что и требовалось доказать.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Введение вспомогательного элемента;

· Приведение к частному случаю;

· Приведение задачи к уже решенной задаче.

Все условия теоремы обязательны, потому как если исключить хотя бы одно из них, то теорема будет неверна. Также стоит отметить, что из условия существования производной следует, что из второго условия теоремы следует первое. Другими словами, при невыполнении 1-го условия, соответственно не выполняется и 2-е. Обратное, однако, неверно, так как при невыполнении 2-го условия, 1-е может выполняться. Докажем обязательность условий:

Рассмотрим это на основе нескольких примеров:

1)Функция имеет разрыв при x = 1, а производная f’(x) = 1 везде в (0;1).

2) Функция, определяемая неравенствами f(x) = x, при и f(x) = 1 – x, при , также удовлетворяют всем условиям, за исключением того обстоятельства, что при не существует двусторонней производной. В то же время, f’(x) = +1 в левой половине промежутка и f’(x) = -1 в правой половине промежутка.

Применение:

· Из теоремы Лагранжа можно получить формулу конечных приращений:

И, несмотря на то, что c – неизвестное число, данную формулу многообразно применяют в анализе.

· Из теоремы Лагранжа можно понять, в чём геометрический смысл производной.

· Теорема Лагранжа – частный случай теоремы Коши.