M < f(x)

Тогда m – f(x) < 0. Пусть – непрерывная функция, как частное двух непрерывных функций, следовательно, по первой теореме Вейерштрасса, она ограниченна, следовательно: $ b = sup{ - точная нижняя грань, однако, ¹ m следовательно, - не является точной нижней гранью, что означает, что наше предположение неверно и x1 существует, что и требовалось доказать.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Метод «От противного»;

· Сведение решения задачи к решению подзадач;

· Введение вспомогательного элемента;

· Перебор вариантов.

Единственное условие теоремы является обязательным, так как при его исключении получим, что рассматриваемая функция не является ограниченной сверху (снизу). Из этого следует, что у неё нет точной верхней (нижней) грани и действительно, в таком случае функция не достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, потому что для любого, как угодно большого (малого), значения функции, найдётся ещё большее (меньшее) значение функции.

Рассмотрим функцию на отрезке [-1; 0]. Для данной функции на данном отрезке условие теоремы не выполняется, так как имеется разрыв в точке 0, кроме того неверным является и заключение теоремы, так как на данном промежутке y не достигает своего наименьшего значения.

**Замечание: наибольшего значения на промежутке [-1; 0] функция всё же достигает. Происходит это потому, что:

· На данном промежутке функция убывает;

· Неопределенна функция только в точке 0, следовательно, если убрать из промежутка данную точку, то она достигнет и наибольшего, и наименьшего значения.

Аналогично и для промежутка [0; 1]. Из этого можно сделать вывод, что если исключить условие теоремы, то рассматриваемая функция может:

1) Не достигать ни наибольшего, ни наименьшего значений;

2) Достигать наибольшее, но не наименьшее;

3) Достигать наименьшее, но не наибольшее.

И при этом функция никогда не будет достигать и наибольшего, и наименьшего значений одновременно, из чего следует, что условие теоремы является обязательным.

Применение:

· Используется для доказательства других теорем (теорема Ферма, теорема Ролля и т.д.)