Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема Коши. Формулировка, доказательство, анализ, применение





Формулировка:

Пусть даны 2 функции, f(x) и g(x), которые:

1)Определены и непрерывны в [a;b].

2)Существует конечные производные f’(x) и g’(x), x є (a;b).

3) g’(x) ¹ 0, x є (a; b).

Тогда, .

Доказательство:

Замечание: так как в противном случае, функция g(x) удовлетворяет теореме Ролля, и, значит, что $ z є [a;b]: g’(z) = 0, а это противоречит изначальному условию.

Пусть Введём такую функцию j(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля. Другими словами нужно получить такую функцию, чтобы:

 
 

 


Что и требовалось доказать.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Введение вспомогательного элемента;

· Приведение к частному случаю;

· Приведение задачи к уже решенной задаче;

· Дедукция.

Все условия теоремы обязательны, потому как если исключить хотя бы одно из них, то теорема будет неверна. Также стоит отметить, что из условия существования производной следует, что из второго условия теоремы следует первое. Другими словами, при невыполнении 1-го условия, соответственно не выполняется и 2-е. Обратное, однако, неверно, так как при невыполнении 2-го условия, 1-е может выполняться. Докажем обязательность условий:

1)Исключим первое условие. Может произойти две ситуации:

а) Одна из функций (или сразу обе) будет неопределенна на всём [a;b]. В таком случае в [a;b] у одной из функций (или же у обеих) не будет производной, и теорема потеряет всякий смысл.

б) Одна из функций (или сразу обе) будет неопределенна в конкретных точках промежутка [a;b].

В таком случае невозможно будет ввести вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы Ролля, следовательно, теорема - неверна.

2)Исключим второе условие. Как и в случае с предыдущим условием, в таком случае, невозможно будет ввести вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы Ролля и следовательно заключение теоремы будет неверным.

3)Исключим третье условие. В таком случае, нельзя будет разделить выражение (1) на , так как может быть равным 0, и в таком случае, дальнейшие действия станут невозможными.

Применение:

· Обобщение формулы конечных приращений.

Date: 2016-02-19; view: 712; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию