Сформулировать все теоремы о числовых последовательностях. Доказать одну из них

Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность. Это означает, что для любого положительного числа существует такой номер N, что для всех номеров выполняется условие , где С – любое действительное число. Тогда <

< , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Это означает, что для любого числа существуют такие номера и , что для всех номеров и для всех номеров выполняются условия и соответственно. Тогда для всех номеров выполняется условие , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.

Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность, ε>0 – некоторое число, а N – номер, начиная с которого выполняется условие . Обозначим через М наибольшее из следующих чисел . Очевидно, что для любого номера n, а это и означает, что последовательность { } – ограничена.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует число М >0 такое, что для любого номера n выполняется , и для любого числа существует номер N такой, что для всех номеров выполняется . Тогда для всех номеров и любого ε>0 выполняется , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу С, то С =0.

Доказательство. Предположим, что . Для существует такой номер N, что для всех номеров выполняется . Так как , а , то последнее неравенство имеет вид , откуда . Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, следовательно, .

Теорема 6. Если – бесконечно большая последовательность то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если не все элементы бесконечно малой последовательности равны нулю, то последовательность бесконечно большая.

Доказательство. Пусть – бесконечно большая последовательность. Это означает, что для любого положительного числа М можно указать такой номер N, что для всех номеров выполняется . А это означает, что при все элементы , а поэтому последовательность имеет смысл с номера N. Пусть - любое положительное число. Для числа можно указать номер такой, что для n N выполняется . Это и означает, что – бесконечно малая. Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Рассмотрим теперь лемму, которая будет использоваться при доказательстве некоторых теорем.

Лемма. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы имел вид , n =1,2,…, где есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Обозначим . Условие по определению предела равносильно тому, что для любого числа существует такой номер N, что для всех номеров выполняется неравенство , то есть , а это и равносильно тому, что .

Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении предела последовательности. Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению простейших свойств пределов числовых последовательностей.

Теорема 7. Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказательство. Предположим противное. Это означает, что существует последовательность , имеющая два различных предела а и в. По лемме и , где и – бесконечно малые последовательности, откуда получаем . Так как все элементы бесконечно малой последовательности имеют одно и то же значение в-а, то в-а =0, то есть в=а, что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема 8. Сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – сходящаяся к числу а, тогда , где . Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то $ такое число , что для всех выполняется . Поэтому для всех , а это и означает, что последовательность ограничена.

Теорема 9. Если последовательность сходится к числу а, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится к этому же числу.

Доказательство. По условию , то есть для любого числа существует такой номер N, что для всех номеров выполняется неравенство . Пусть – некоторая подпоследовательность последовательности . Тогда для всех номеров выполняется , поэтому .

Замечание. Теорема 3 справедлива для случая , то есть для бесконечно большой последовательности . Таким образом, каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой последовательностью. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 3.

Теорема 10. Если последовательность сходится к числу , то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство. Пусть , так как . Пусть N – номер, начиная с которого выполняется условие . Отсюда при получаем или . Тогда при , что означает ограниченность последовательности , начиная с номера N.

Теорема 11. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется , то .

Доказательство. Пусть с некоторого номера выполняется . Предположим, что . Так как , то для существует такой номер N, что для всех выполняется или , откуда получаем , что противоречит условию. Случай рассматривается аналогично.

Следствие 1. Пусть и сходятся и, начиная с некоторого номера, выполняется , тогда .

Следствие 2. Пусть сходится и при любом , тогда и .

Доказательство. Так как , то и .

Теорема 12. Пусть и с некоторого номера n выполняется условие . Тогда последовательность сходится и .

Доказательство. Пусть – номер, с которого выполняется , тогда с этого номера выполняется , или . Так как и , то для любого числа существуют такие номера и , что для всех , а для всех , а для всех номеров , где выполняется , что и означает .

Теорема 13. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .

Определение. Говорят, что последовательность { } удовлетворяет условию Коши, если для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров m и n таких, что n≥N, m≥N, справедливо неравенство < (*).

Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Условие (*) можно сформулировать иначе: для любого числа >0 существует такой номер N, зависящий от , что для всех номеров n N и всех натуральных p выполняется условие: .

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность { } сходится и .

Зададим >0, тогда существует такой номер N, что для всех номеров n N выполняется неравенство . Пусть n N и m N, тогда , то есть выполняется условие Коши.

Достаточность. Пусть { } удовлетворяет условию Коши, то есть для любого >0 существует номер N, что для n N и m N выполняется неравенство . Пусть =1, тогда существует номер N такой, что при n N и m N выполняется . В частности, если n N и m=N , то , то есть при n N . Это значит, что последовательность {x }, n=N , N +1,…ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность { }.

Пусть . Зададим >0. Тогда существует такой номер K ,что для всех номеров K K или, что то же самое, для всех n n выполняется неравенство

Обозначим через =max{ N,n } и зафиксируем некоторое n . Тогда для всех n N имеем , что и означает, что