Вторая теорема Больцано-Коши. Формулировка, доказательство, анализ, применение

Формулировка:

Если функция определена и непрерывна в [a;b] и если f(a) = A и f(b) = B, причём A ¹ B, то "C є (A;B) $ c є (a;b): f(c) = C.

Доказательство:

Для определённости, пусть A < B. Введём такую вспомогательную функцию, которая бы удовлетворяла условиям первой теоремы Вейерштрасса: пусть j(x) = f(x) – C.

Так как f(x) – определена и непрерывна в [a;b], то и j(x) будет определена и непрерывна в данном промежутке, как разность двух функций. j(а) = A – C < 0, так как C > A. j(b) = B – C > 0, так как B > C. Следовательно, функция j(x) удовлетворяет условию первой теоремы Больцано-Коши, и в некоторой точке c є (a;b): j(c) = 0, и так как j(x) = f(x) – С, то j(с) = f(с) – С, следовательно, f(с) – С = 0, и f(c) = C, что и требовалось доказать.

Анализ:

Методы, используемые для доказательства теоремы:

· Дедукция;

· Приведение задачи к другой, уже решенной, задаче;

· Введение вспомогательного элемента.

Все условия теоремы являются необходимыми. Докажем это:

1) Исключим первое условие. В таком случае, получим, что функция может и не достигать всех значений, которые лежат между A и B. Так будет, например, с функцией

, на промежутке [-1;1]. Для данной функции, первое условие не выполняется, так как в точке x = 0, функция имеет разрыв. Второе же условие выполняется, так как на концах промежутка функция принимает разные значения. Так как в данном промежутке нет такого значения x, для которого было бы справедливо равенство f(x) = 0 и, так как, для рассматриваемого случая является верным такое выражение 0 є (А; В), то заключение теоремы является неверным, из чего вытекает, что условие №1 является обязательным.

2) Если исключить второе условие, то теорема также потеряет смысл. Предположим обратное: пусть A = B и теорема имеет смысл. Тогда задача теоремы состоит в том, чтобы доказать, что "С є (A;B) $ c є (a;b): f(c) = C. Рассмотрим, каких значений в таком случаем может достигать C:

, однако, так как A = B, то составленное нами неравенство не имеет смысла и в промежутке (A;B) нет элементов, следовательно, теорема теряет смысл.

Из этого можно сделать вывод, что второе условие также является обязательным.

Применение:

· Используется для того, чтобы вывести важное свойство функции непрерывной на отрезке.