Елементи векторної алгебри

Вектором називається спрямований відрізок , у якому точка розглядається як початок, а точка – як кінець. Вектор позначається або зазначенням його початку і кінця з рискою або стрілкою нагорі, або однією буквою, наприклад, .

Модулем (довжиною) називається відстань між початком і кінцем вектора і позначається . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.

Вектори, паралельні одній прямою, називаються колінеарними. Вектори, паралельні одній площини, називаються компланарними.

Два вектори і (рис. 1.3.1) називаються рівними, якщо вони:

1) мають рівні модулі; 2) колінеарні; 3) однаково спрямовані.

Рис.1.3.1 – Колінеарні вектори

Якщо вектори мають однакову довжину, але протилежні напрямки, то вони називаються взаємнопротилежними. Вектор, протилежний вектору , позначається .

Добутком вектора на число називається вектор , такий, що

1) ;

2) при (вектори і однаково спрямовані);

при (вектори і протилежно спрямовані).

Сумою двох векторів і називається вектор , що виходить з початку вектора в кінець вектора , за умови, що початок вектора прикладений до кінця вектора (правило трикутника).

Різницею двох векторів і називається третій вектор , сума якого з вектором дає вектор , тобто , якщо .

Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка, укладеного між проекціями початку і кінця вектора на цю вісь,взята зі знаком «+», якщо кут між вектором і віссю гострий, і знаком «-», якщо цей кут тупий (рис. 1.3.2). Позначення: .

Рис. 1.3.2 – Проекція вектора на вісь

Проекція вектора на вісь дорівнює модулю вектора , помноженому на косинус кута між додатнім напрямком осі і вектором:

, де .

(1.3.1)

Розглянемо в просторі прямокутну систему координат. Віднесемо до кожної з осей одиничний вектор, напрямок якого збігається з додатнім напрямком осі. Так, осі віднесемо одиничний вектор , осі – одиничний вектор і осі – одиничний вектор . Три взаємно перпендикулярних вектори називаються ортами. Усякий вектор можна представити у вигляді його розкладання по ортах:

,

(1.3.2)

де – проекції цього вектора на координатні осі. Вектор у координатній формі записують .

Якщо для вектора відомі координати його початку і координати його кінця , то координати вектора дорівнюють різницям відповідних координат кінця і початку вектора, тобто

.

(1.3.3)

Якщо відомо розкладання векторів по осях координат, то лінійні операції над векторами можна замінити арифметичними діями над їхніми проекціями.

Приклад 1.3.1. Дано вектори , . Знайти суму векторів і різницю .

Розв’язання. При додаванні векторів їхні проекції додаються, а при відніманні віднімаються, то

,

;

.

Модуль (довжина) вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його проекцій на осі координат

або .

(1.3.4)

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку модулів векторів, що перемножуються, на косинус кута між ними

.

(1.3.5)

Скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з векторів, помноженому на проекцію на нього іншого вектора:

.

(1.3.6)

Якщо , то . Зокрема, при скалярному множенні вектора самого на себе виходить квадрат його модуля, тобто

.

(1.3.7)

Якщо вектори і задані своїми координатами: , , то скалярний добуток дорівнює сумі добутків їх однойменних координат:

.

(1.3.8)

Кут між векторами і визначається за такими співвідношенням:

.

(1.3.9)

Властивості скалярного добутку:

1. ;
2. , ;
3. ;
4. .

Приклад 1.3.2. Довжини векторів і рівні , і кут між векторами . Знайти скалярні квадрати векторів і їх скалярний добуток.

Розв’язання. Скориставшись формулами (1.3.5) і (1.3.7), одержимо скалярний добуток векторів

;

скалярні квадрати векторів , .

Приклад 1.3.3. Знайти довжини і скалярний добуток векторів , .

Розв’язання. Довжини векторів знайдемо за формулою (1.3.4)

, .

Скалярний добуток векторів знайдемо за формулою (1.3.8)

.

Приклад 1.3.4. визначити косинус кута між векторами , .

Розв’язання. За формулою (1.3.9)

.

1.4. Пряма на площині

Розглянемо основні формули аналітичної геометрії.

Якщо на площині задані дві точки і , то відстань між ними знаходиться за формулою

.

(1.4.1)

Напрямок відрізка визначається кутом нахилу цього відрізка до осі абсцис. Кут , утворений відрізком з додатнім напрямком осі , виражається через координати кінців відрізка за формулою

.

(1.4.2)

Якщо точка лежить на прямою, що проходить через точки і , і дане відношення , у якому точка ділить відрізок , то координати точки визначаються такими формулами:

, .

(1.4.3)

Зокрема, якщо точка – середина відрізка , то:

, .

(1.4.4)

Якщо задано координати трьох вершин трикутника , і , то площа трикутника визначається за формулою:

,

(1.4.5)

причому знак перед визначником вибирається залежно від знака самого визначника так, щоб число було додатнім.

Приклад 1.4.1. На осі ординат знайти точку, що знаходиться від точки на відстані 5 одиниць.

Розв’язання. Якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю, тобто точка має координати . Визначимо відстань між точками і за формулою (1.4.1) . За умовою задачі, , звідси і , , .

Отже, існують дві точки і , що знаходяться на відстані 5 одиниць від точки .

Приклад 1.4.2. Який кут утворює із віссю пряма, що проходить через точки і .

Розв’язання. Визначимо тангенс кута, під яким відрізок нахилений до осі за формулою (1.4.2): . Ця формула вірна при будь-якому розташуванні точок і . Таким чином, . Кут відлічується від осі проти годинникової стрілки.

Приклад 1.4.3. Дано три вершини паралелограма , і . Знайти четверту вершину , протилежну вершині .

Розв’язання. Відомо, що діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл. Тому координати точки – перетину діагоналей знайдемо як координати середини відрізка за формулою (1.4.4):

; ; .

Знаючи координати точки – середини діагоналі і координати одного з її кінців , визначимо координати вершини паралелограма:

; ; ; .

Отже, вершина .

Приклад 1.4.4. Пряма проходить через точки і . На цій прямою визначити точку, абсциса якої дорівнює 3.

Розв’язання. Точка лежить на прямою і ділить відрізок у відношенні . Знаючи абсцису точки , знайдемо і ординату цієї точки за формулою (1.4.3):

або , тоді .

Отже, .

Приклад 1.4.5. Визначити площу паралелограма, трьома вершинами якого є точки , і .

Розв’язання. Площа паралелограма дорівнює подвоєній площі трикутника (формула (1.4.5)):

, де од.кв.

Звідси, од.кв.

У прямокутних координатах рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів:

1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно заданому вектору,

,

(1.4.6)

де – вектор, перпендикулярний прямою; – задана точка.

2. Загальне рівняння прямої

.

(1.4.7)

3. Рівняння прямої, що проходить через точку в заданому напрямку,

,

(1.4.8)

де – задана точка; – кутовий коефіцієнт прямої, тобто тангенс кута, що утворює пряма з додатнім напрямком осі .

4. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки і ,

.

(1.4.9)

5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

,

(1.4.10)

де – кутовий коефіцієнт прямої; – величина відрізка, що відтинається прямою на осі ординат.

6. Рівняння прямої у відрізках на осях

,

(1.4.11)

де і - величини відрізків, які пряма відтинає на осях координат.

Знаючи рівняння прямих або точки на них, можна знайти:

1. Кутовий коефіцієнт прямої

або .

(1.4.12)

2. Кут між прямими

або .

(1.4.13)

3. Умови паралельності двох прямих

або .

(1.4.14)

4. Умови паралельності прямих

або .

(1.4.15)

5. Відстань від точки до прямої

.

(1.4.16)

Приклад 1.4.6. Знайти пряму, що проходить через точки і .

Розв’язання. Рівняння прямої за формулою (1.4.9) має вигляд

або .

Приклад 1.4.7. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку під кутом до осі абсцис.

Розв’язання. Пряма визначена точкою і напрям, де . Шукане рівняння за формулою (1.4.8) буде

або .

Приклад 1.4.8. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих і і точку .

Розв’язання. Знайдемо точку перетину даних прямих, вирішивши систему рівнянь

, .

Точка перетину прямих . Рівняння прямої, що проходить через дві точки і , за формулою (1.4.9) буде виглядати так:

або ,

звідки одержимо загальний рівняння шуканої прямої за формулою (1.4.7)

.

Приклад 1.4.9. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору .

Розв’язання. Так як пряма проходить через точку перпендикулярно вектору , то скористаємося рівнянням (1.4.6), підставивши в нього: , , , . У результаті одержимо

або .

Це рівняння прямої є загальним (формула 1.4.7).

Приклад 1.4.10. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку на відстані від початку координат 5 одиниць масштабу.

Розв’язання. Рівняння шуканої прямої запишемо у вигляді (1.4.8), підставивши замість , координати заданої точки. Отримане рівняння приведемо до загального виду (1.4.7):

.

Початок координат перебуває на відстані 5 одиниць від цієї прямої. Використовуючи формулу (1.4.16), одержимо рівняння для визначення коефіцієнта :

,

звідки . Після зведення у квадрат обох частин цього рівняння одержимо

, звідки .

Отже, шукане рівняння запишеться так:

або .

МОДУЛЬ 2

ВСТУП В МАТЕМАТИЧНИІ АНАЛІЗ

2.1. Розкриття невизначеностей, I і II визначні границі

Число є границею функції при , якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого, додатного числа існує таке додатне число , що для всіх , що задовольняють умові , виконується нерівність

.

(2.1.1)

Той факт, що функція при має границю, рівну , прийнято позначати у вигляді

.

(2.1.2)

Функція називається нескінченно малою при , якщо

.

(2.1.3)

Функція називається нескінченно великою при , якщо

.

(2.1.4)

Функція називається обмеженою при , якщо існує таке додатне число , що для всіх значень із окола числа виконується нерівність

.

(2.1.5)

Зв'язок між нескінченно більшими і нескінченно малими функціями:

v Якщо функція при є нескінченно великою, то функція буде нескінченно рисою (умовно: ).

v Якщо функція при є нескінченно малою, то функція буде нескінченно великою, причому є умова, що в околі точки функція нуль не дорівнює (умовно: ).

Припустимо, що функції мають границі при . Тоді можна сформулювати такі правила:

1. Границя постійної величини дорівнює самої цієї постійної

.

2. Постійний множник можна виносити за знак границі

.

3. Границя алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь функцій, якщо ці границі існують

.

4. Границя добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо ці границі існують

.

5. Границя частки двох функцій дорівнює частці їхніх границь, якщо

.

При знаходженні границі функції потрібно спочатку у виразі функції замінити аргумент його граничним значенням. Наприклад,

.

Обчислення границі функції шляхом підстановки замість аргументу його граничного значення не завжди можливо, тому що часто це приводить до невизначених виразів виду ; ; ; ; , але із цього не слідує, що границя функції не існує. У таких випадках необхідно зробити низку перетворень, які дозволять оцінити границю. Розглянемо деякі прийоми відшукання границь у випадку невизначеностей.

Невизначеність виду виникає при відношенні многочленів. Її розкривають розкладанням чисельника і знаменника почленно на , де вищий степінь чисельника і знаменника.

Приклад 2.1.1. .

Розв’язання. Оцінка чисельника і знаменника при приводить до невизначеності . Для розв’язання завдання варто розділити чисельник і знаменник на , а після перейти до безпосереднього обчислення границі. Отже,

.

Приклад 2.1.2. .

Розв’язання. Тут найвищий степінь змінної , на ії і ділять.

.

Приклад 2.1.3.

При розкритті невизначеності виду корисно запам'ятати таке правило:

а) якщо степінь чисельника більше степеня знаменника, то границя дорівнює ;

б) якщо степінь чисельника менше степеня знаменника, то границя дорівнює 0;

в) якщо степінь чисельника дорівнює степеню знаменника, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при найвищих степенях у чисельнику і знаменнику.

Невизначеність виду при розкривають різними способами:

а) Якщо вона виникла в результаті розподілу двох многочленів, то її розкривають виділенням у чисельнику і знаменнику множника і скороченням на нього (тобто розкладанням на множники і наступним скороченням).

Приклад 2.1.4. Знайти .

Розв’язання. Безпосередня підстановка граничного значення аргументу приводить до невизначеності . Отже, перш ніж перейти до границі, необхідно даний вираз перетворити. Чисельник і знаменник даного дробу розкладаємо на множники. Маємо:

.

Підставляючи в перетворений вираз граничне значення аргументу, маємо .

б) Для розкриття невизначеності , що містить ірраціональні вирази, слідує чисельник і знаменник домножити на спряжений вираз для ірраціонального, після чого зробити необхідні спрощення і обчислити границю.

Приклад 2.1.5. Знайти .

Розв’язання. Якщо у вираз підставити , то одержимо невизначеність . Щоб ії розкрити, помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений чисельнику. Після цього скорочуємо на і на підставі теореми про границю дробу маємо:

.

Невизначеність виду , утворену різницею двох нескінченно більших величин одного знака, розкривають домноженням на спряжений вираз, приведенням до загального знаменника або винесенням загального множника. При домножені на спряжений вираз необхідно одночасно розділити на нього.

Приклад 2.1.6. .

Розв’язання. .

Приклад 2.1.7. .

Розв’язання. Домножимо і розділимо вираз на спряжений до нього вираз, одержимо

.

Приклад 2.1.8. .