Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Системи лінійних рівняньСистема лінійних рівнянь з змінними має вигляд:
де , – довільні числа, які називаються відповідно коефіцієнтами при змінних і вільних членах рівнянь. Розв’язком даної системи називається така сукупність чисел, при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється у вірну рівність. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більше одного розв’язку. Наприклад, система рівнянь – сумісна і визначена, тому що має єдиний розв’язок ; система – несумісна; а система рівнянь – сумісна і невизначена, тому що має більше одного, а точніше множину розв’язків. Дві системи називаються рівносильними, або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв’язків. За допомогою елементарних перетворень системи рівнянь (розглянутих стосовно до матриць) отримують систему, рівносильну даній. Запишемо дану систему в матричній формі. Позначимо:
де – матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи, – матриця - стовпець змінних, – матриця- стовпець вільних членів. Тому що число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці , то їхній добуток є матриця-стовпець. Елементами отриманої матриці є ліві частини даної системи. На підставі визначення рівності матриць систему можна записати у вигляді:
Нехай число рівнянь системи дорівнює числу змінних, тобто . Тоді матриця системи є квадратною, а її визначник називається визначником системи.
Методи розв’язання систем лінійних рівнянь: 1. Метод оберненої матриці. Для одержання розв’язку системи при в загальному виді припустимо, що квадратна матриця системи невироджена, тобто її визначник . У цьому випадку існує обернена матриця . Множачи ліворуч обидві частини рівності на матрицю , одержимо. Тому що , то розв’язком системи в матричній формі буде матриця-стовпець
2. Інший метод розв’язання системи рівнянь ґрунтується на теоремі Крамера. Складемо визначник матриці системи : Випишемо допоміжні визначники , що відповідають кожній змінній , які отримують шляхом заміни -го стовпця основного визначника стовпцем вільних членів : , ,…, ... Тоді: § якщо , то система має єдиний розв’язок, який обчислюється за формулами Крамера:
§ якщо , а серед визначників є не рівні нулю, то система несумісна; § якщо і всі , то система має нескінченну множину розв’язків. Приклад 1.2.1. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання. а) Розв’яжемо систему методом Крамера. Випишемо матриці і : , . , , , . Розв’язок системи такий: , , . Перевірка показує, що , , задовольняють рівнянням даної системи, отже, є її розв’язком. б) розв’яжемо систему методом зворотної матриці. Випишемо матриці , і : , , . Знайдемо , для цього випишемо алгебраїчні доповнення матриці :
Тоді . Розв’язок системи знайдемо з рівності : . Отже, , , .
Метод оберненої матриці і метод Крамера є дуже трудомісткими за кількістю обчислювальної роботи. Тим часом існують більше економічні методи розв’язання систем лінійних рівнянь, які опираються на попереднє перетворення матриці системи до спеціального виду. Одним з них є метод Гаусса, що застосовується не тільки у випадку, коли . Метод Гаусса – метод послідовного виключення змінних – полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять всі інші змінні. Розглянемо застосування цього методу на конкретному прикладі. Приклад 1.2.2. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання. Перший етап. Перше рівняння системи залишимо без змін, а із другого і третього рівнянь виключимо : Другий етап. Перше і друге рівняння системи залишаємо без змін. Із третього рівняння виключаємо змінну : Третій етап. Підставимо в друге рівняння системи і знайдемо ; при підстановці в перше рівняння системи, одержуємо . Розв’язок системи може бути записане у вигляді: . Перетворення Гаусса зручно проводити, здійснюючи перетворення не із самими рівняннями, а з матрицею коефіцієнтів. Розглянемо матрицю , яка називається розширеною матрицею даної системи; у неї, крім матриці системи , додатково включено стовпець вільних членів. Приклад 1.2.3. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання. Розширена матриця системи має вигляд: . Перший рядок матриці помножимо послідовно на (–2), (–3), (–2) і, додамо відповідно до другого, третього, четвертого рядків, виключимо змінну із всіх рядків, починаючи з другого: . Повернемося від отриманої розширеної (трикутної) матриці до системи рівнянь і знайдемо розв’язок системи: Приклад 1.2.4. Методом Гаусса розв’язати систему рівнянь: Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи: . Отже, рівняння, що відповідає третьому рядку останньої матриці, суперечливо – воно звелося до невірної рівності , тобто, дана система несумісна.
|