Застосування похідних для дослідження функцій

Поняття похідної можна застосовувати для аналітичного дослідження властивостей функції і побудови її графіка.

Областю визначення функції називають множину значень аргументу , при яких функція визначена.

Функція називається парною, якщо виконується умова . При цьому графік функції симетричний щодо осі . Функція називається непарною, якщо виконується умова . При цьому графік функції центральне симетричний відносно початку координат. Якщо функція не є ні парною, ні непарною, то ця функція загального виду.

Функція називається зростаючою на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох чисел і із цього інтервалу з нерівності слідує нерівність .

Функція називається спадною на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох чисел і із цього інтервалу з нерівності слідує нерівність .

Зростаючі або спадні функції називаються монотонними.

Ознаки зростання і спадання функцій:

v Якщо у всіх точках деякого інтервалу похідна , то функція на цьому інтервалі зростає.

v Якщо у всіх точках деякого інтервалу похідна , то функція на цьому інтервалі спадає.

Приклад 2.3.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є вся вісь . Знаходимо похідну . Щоб знайти інтервали зростання функції, розв’яжемо нерівність ; щоб знайти інтервали спадання функції, розв’яжемо нерівність . Корінь квадратного тричлена рівні 1 і 2, тому розподіл знаків квадратного тричлена має вигляд

+ - +

1 2

Отже, на інтервалах і функція зростає, а на інтервалі функція спадає.

Необхідна ознака екстремуму: якщо точка є точкою екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю або не існує.

Точки, у яких перша похідна дорівнює нулю, або у яких вона не існує, але функція зберігає неперервність, називаються критичними точками першого роду.

Достатня ознака екстремуму: якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак, то критична точка є точкою екстремуму. Це точка максимуму, якщо похідна змінює знак із плюса на мінус, і точка мінімуму, якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс.

Приклад 2.3.2. Дослідити на екстремум функцію .