Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном осуществлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей. Если события А₁, А₂, …., А_n несовместимы, т.е. никакие два из них не могут осуществиться вместе, то:

Р(А₁+А₂+…+А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Р(А/В).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

Р (А₁*А₂*А₃*…*А_n) = Р(А₁) * Р(А₂/А₁) * Р(А₃/А₁А₂) * … * Р(А_n/А₁А₂ … А_n-1)

Если события А₁, А₂, А₃, …, А_n независимы, т.е. осуществление любого числа из них не меняет вероятностей осуществления остальных, то

Р (А₁*А₂*А₃*…*А_n) = Р(А₁) * Р(А₂) * Р(А₃) * … * Р(А_n).

Формула полной вероятности, формула Байеса. Если с некоторым опытом связано n исключающих друг друга событий (гипотез) Н_1, Н_2, Н_{3, …,} Н_n и если событие А может осуществиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁) * Р(А/Н₁) + Р(Н₂) * Р(А/Н₂) + … + Р(Нn) * Р(А/Нn)

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Нn), то после проведения опыта, в результате которого осуществилось событие А, вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса:

Р(Н_i/А) = (I = 1, 2, …, n)

Формула Бернулли. Если при одних и тех же условиях определений опыт повторяется n раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в серии из n опытов произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:

Р_n(k) = pⁿ q^n-k, где q = 1 - p

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.
При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

Пример 4. Из 20 лотерейных билетов 3 выигрышных. Какова вероятность того, что их двух наугад взятых билетов оба выигрышные?

Решение: Из 20 билетов выбрать 2 можно способами, это число возможных исходов – n.

А благоприятных исходов m=

Тогда

Ответ:

Пример 5. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение: , где

n – число возможных исходов = , а

m – число благоприятствующих исходов = =

3 2

Тогда

7 3

Ответ:

Пример 6. В урне 15 красных и 5 синих шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность, что два вынутых шара красные, а два синие?

Решение:

3 5

Число возможных исходов

1 1

Два красных шара могут быть выбраны способами, а два синих способами. Тогда благоприятствующих исходов

Искомая вероятность

5 1

1 1

Ответ:

Пример 7. Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будут угаданы 5 чисел?

Решение: , где , а , где - выбраны 5 и 6, - названо одно из 39 невыигрышных чисел (45-6).

1 1

2 1 1 2 19

20 7 22 15 5

10 5

Ответ:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + х_пр_п.

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то, если полученный ряд сходится абсолютно.