Приложения производной

1. Скорость и ускорение

Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.

3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.

4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x<x1 и x>x2.
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1<x<x2).
Если f′(x0)=0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x0.

5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).

6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.

7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале [x1,b), то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1.
Аналогично, если функция f(x) убывает (f′(x)<0) для всех x из интервала (a,x2] и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала [x2,b), то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2.

8. Второй достаточный признак существования экстремума
Если f′(x1)=0 и f′′(x1)<0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1.
Если f′(x2)=0 и f′′(x2)>0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2.

9. Выпуклость функции
Функция f(x) является выпуклой вверх (или вогнутой) в точке x0, если производная f′(x) в этой точке убывает (промежуток x<x3 на приведенном выше рисунке).
Аналогично, функция f(x) является выпуклой вниз (или просто выпуклой) в точке x0, если производная f′(x) в этой точке возрастает (промежуток x>x3).

10. Достаточные условия выпуклости функции вверх и вниз
Если f′′(x0)>0, то функция f(x) выпукла вниз в точке x0.
Если f′′(x0)<0, то функция f(x) выпукла вверх в точке x0.
Если f′′(x0)=0 или производная не существует в точке x0, то данный признак не позволяет определить характер выпуклости функции в этой точке.

11. Точка перегиба
Если первая производная f′(x3) существует в точке x3, а вторая производная f′′(x3) меняет знак при переходе через x=x3, то точка (x3,f(x3)) называется точкой перегиба графика функции f(x). Если вторая производная f′′(x3) существует в точке перегиба, то она равна нулю: f′′(x3)=0.

12. Правило Лопиталя
limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(x)g′(x),еслиlimx→cf(x)=limx→cg(x)=[0∞.