Деление отрезка в данном отношении. Две различные точки М1 и М2 определяют направленный отрезок

Две различные точки М₁ и М₂ определяют направленный отрезок . Пусть l Î R, l ¹ –1. Говорят, что точка М делит направленный отрезок в данном отношении l, если

= l . (1)

При этом число l называют отношением трёх точек М₁, М₂ и М (или простым отношением этих точек) и пишут: l = (М₁М₂, М).

Из равенства (1) заключаем, что векторы и коллинеарны (рис.18). Следовательно, точка М лежит на прямой (М₁М₂). Более того, если l > 0, то векторы и одинаково направлены, и значит, точка М лежит на отрезке [ М₁М₂ ]. Если же l < 0, то точка М лежит вне отрезка [ М₁М₂ ].

Пусть в системе R (О, , , ) точки М₁, М₂ и М имеют координаты: , , М (х,у,z).

Равенство (1) можно записать так:

– = l ( – )

или

(1+ l) = + l .

Так как l ¹–1, то

= . (2)

Следовательно,

х + у + = , или

х + у + = + + ,

и, так как векторы , , линейно независимы, то

х = , у = , z = . (3)

Так выражаются координаты х, у,z точки М, делящей в данном отношении l направленный отрезок , через соответствующие координаты концов этого отрезка. В частности, середина отрезка М₁М₂ имеет координаты (l = 1):

х = , у = , z = .

Задача. Доказать, что точка пересечения М медиан треугольника (рис.19) с вершинами А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х₃, у₃) в аффинной системе координат имеет координаты:

х_m = , у_m = . (4)

Решение.Точка М₁ – середина отрезка [ ВС ], поэтому

М1 (, ). М – точка пересечения медиан, т.е. , поэтому l = (АМ1, М) = 2.

Рис.19

Подставив в формулы (3) координаты точек А и М₁ и положив l = 2, после элементарных преобразований получим искомое соотношение (4).