Уравнение прямой на плоскости

1.Рассмотрим некоторые способы задания прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется её направляющим вектором. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, однако любые два из них коллинеарны, так как они параллельны этой прямой. Пусть – направляющий вектор прямой d, и М ₀ –некоторая её точка (рис.20); М Î d тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны:

= t (t Î R), (1)

где t называется параметром. Равенство (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой d и множеством R – числовой прямой. Прямую d, заданную точкой М ₀ и направляющим вектором , обозначим d = { M ₀, }.

Пусть на прямой d заданы две точки: , . Тогда вектор = где является направляющим вектором прямой d. Значит, прямая d определяется как d = { M ₀, } или d ={ M ₁, }. В этом случае говорят, что прямая d задается двумя точками: .

2. Уравнение прямой. Пусть в системе координат R =(O, , ) заданы и . Тогда, в силу равенства (1),точка Î d тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе (2)

Уравнения (2) определяют прямую d. Они называются параметрическими уравнениями прямой. Если , то уравнения (2) можно записать в виде отношения

. (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой d.

Если то уравнение (3) можно записать в виде:

или , (4)

где . Уравнение (4) называется уравнением прямой d с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент прямой d в равен тангенсу угла наклона: k = tga прямой к оси (Ох).

Система (2) равносильна уравнению Следовательно, всякая точка прямой d удовлетворяет уравнению: d: А x + Вy + С = 0, (5)

где . Справедливо и обратное утверждение: всякая точка , координаты которой удовлетворяют (5), где А и В не равны нулю одновременно, есть точка прямой d. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой с направляющим вектором .

Пусть прямая d пересекается с осями в точках и . Тогда уравнение прямой d можно записать в виде:

(6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой “ в отрезках ”.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат R =(O, , ) задана прямая общим уравнением d: Аx + Вy + С = 0. Следовательно, вектор - направляющий вектор прямой d. Заметим, что векторы и взаимно перпендикулярны (ортогональны), так как × = – В·А + А·B = 0. Всякий вектор, коллинеарный вектору , называется нормальным вектором этой прямой.

Нормальный вектор прямой d позволяет найти уравнение этой прямой, если на ней задана некоторая точка , т.е. тогда и только тогда, когда , откуда (x – x ₀) A + (y – y ₀) B = 0. Значит d: Ax + By + (– Ax ₀ + By ₀) = 0 или d: Аx + Вy + С = 0.

Таким образом, (в прямоугольной системе координат) прямую можно задать точкой и нормальным вектором.