Решение задачи линейного прграммирования методами аналитической геометрии

Задача. При продаже двух видов товаров используется четыре вида ресурсов: А и В, С и D.

Прибыль от реализации одной единицы товара первого вида составляет 1усл.ед, второго вида – 3 усл.ед. Требуется найти оптимальный план реализации товаров, максимизирующий прибыль.

Решение. Построим экономико-математическую модель. Введем управляющие переменные: пусть – количество реализованного товара 1-го вида, а – количество реализованного товара 2-го вида. Используя данные таблицы и заданные условия прибыли от реализации товаров, получаем, что процесс реализации должен удовлетворять следующей системе:

(1)

В системе учтена неотрицательность управляющих переменных. Равенство в системе определяет так называемую целевую функцию . Заметим, что все ограничения и целевая функция линейны, поэтому эта задача – задача линейного программирования.

Кроме того, число управляющих переменных равно двум, поэтому графическое решение этой задачи можно привести на плоскости. Для этого можно придерживаться следующего плана:

1. Построить прямые ограничений.

2.Найти полуплоскости, задаваемые ограничениями.

3.Построить многоугольник решений (область допустимых решений). Заметим, что многоугольник решений может быть пустым множеством, неограниченной областью, точкой, отрезком и т.д.; в зависимости от этого задача может не иметь решения, иметь единственное решение или более одного решения.

4.Построить вектор и прямую , где .

5. Передвигать прямую параллельным переносом в направлении , до крайней точки многоугольника решений. В результате чего, либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху. Целевая функция убывает в направлении .

, , ;

, , ; , , .

АВСD – многоугольник решений (рис.28), точка С – искомая точка. Вычислим координаты этой точки:

Тогда .

Таким образом, максимальная прибыль 26 у.е. достигается при реализации 2 единиц товара 1-го вида и 8 единиц товара 2-го вида.

Графический способ решения задачи возможен и в некоторых других случаях, когда число управляющих переменных более двух, например,

Применим графический метод решения задачи линейного программирования к последней системе(рис 29): , , ;

, , ;

, , .

Областью решения является внутренняя область острого угла , искомая точка – , где .

Значит . Таким образом, минимальное значение целевой функции достигается при следующих значениях управляющих переменных: .

Заметим, что графическое решение задачи линейного программирования позволяет исследовать задачу экономического характера на статус ресурсов, ценность ресурсов, изменение запаса ресурсов, на чувствительность оптимального решения к вариации коэффициентов целевой функции. Подобные исследования рассматриваются в математических методах экономики.