Смешанное произведение векторов и его свойства. Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координат

Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координат.

Опр. Смешанным произведением трех векторов , , взятых в определенном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор [ ].

Смешанное произведение обозначают или

Теорема 1. В прямоугольной декартовой системе координат смешанное произведение трех векторов , , вычисляется по формуле:

(1)

Доказательство.Используя (1) из §20, запишем, [ ]= + + . Тогда скалярное произведение вектора на вектор [ ] есть сумма произведений соответствующих координат:

+ + = .

Теорема 2 (геометрический смысл смешанного произведения). Если , и - три некомпланарных вектора, то абсолютная величина смешанного произведения векторов , и равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство. Векторное произведение [ ] , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и (т.е. – длина вектора [ ]), – орт вектора [ ]. Следовательно, ∙[ ] . Заметим, что , где – длина высоты AH параллелепипеда , причем знак «+», если тройка - правая; и знак «-», если тройка - левая.

Таким образом, ∙[ ]= . Окончательно, ∙[ ]= .

Свойства. Принимая во внимание теорему 1, заключаем, что смешанное произведение обладает свойствами определителя:

1.Векторы , и компланарны тогда, и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2.Смешанное произведение некомпланарных векторов , и положительно (отрицательно), если базис – правый (левый).

3.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет лишь знак, а его абсолютная величина не меняется.

4.Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение.

5.При умножении одного из векторов , , на число на то же число умножается смешанное произведение векторов , , .

6.Смешанное произведение обладает свойством дистрибутивности относительно каждого сомножителя:

.