Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть даны две плоскости П₁ и П₂ своими уравнениями:

, (8)

(9)

в аффинной системе координат .

Для того, чтобы выяснить взаимное расположение этих плоскостей, необходимо выяснить наличие (или отсутствие) их общих точек. Координаты х,у,z общихточек являются решением системы уравнений

(10)

Поэтому вопрос о взаимном расположении плоскостей П₁ и П₂ сводится к исследованию системы линейных уравнений (10). Обозначим: , .

Ясно, что , причем по теореме Кронекера - Капелли система уравнений (10) совместна тогда и только тогда, когда . Таким образом, плоскости П₁ и П₂ имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда .

Возможны следующие случаи:

1) . Тогда система уравнений (10) совместна и имеет бесчисленное множество решений. Отсюда заключаем, что , т.е.каждая точка одной из плоскостей П₁ и П₂ принадлежит другой, и поэтому плоскости П₁ и П₂ совпадают, т.е. уравнения (8) и (9) определяют одну и ту же плоскость.

2) r'=2, r=1. По теореме Кронекера - Капелли система (10) несовместна. Тогда плоскости П₁ и П₂ не имеют общих точек, т.е.плоскости параллельны, т.к. ,

.

3) r' = 2, r = 2. Система уравнений (10) совместна и поэтому плоскости П₁ и П₂ имеют бесконечное множество общих точек. Тогда плоскости П₁ и П₂ различны, они не могут совпасть, так как , значит, пересекаются по некоторой прямой d. Покажем это.

Если - одно из решений системы (10), то эта система равносильна системе уравнений:

Применив правило Крамера (§ 13), получим общее решение этой системы:

,, .

, , . (11)

Уравнения (11) определяют прямую и называются параметрическими уравнениями этой прямой. Направляющий вектор прямой d имеет координаты:

(определенные с точностью до общего множителя ).