Понятие о многостержневых статически неопределимых системах при растяжении-сжатии

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия невозможно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия, называют статически неопределимыми. Такие системы должны быть геометрически неизменяемыми.

Разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, называют степенью статической неопределимости.

Все статически неопределимые системы имеют «лишние» связи в виде закреплений, стержней или других элементов. Статически неопределимые системы приведены на рис. 28.1, б, в. Степень статической неопределимости определяется по формуле

n = k – 3,

где n – степень статической неопределимости;

k – число неизвестных;

3 – число уравнений статики.

Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительные уравнения, учитывающие деформации элементов системы и перемещения узлов. Такие уравнения называются уравнениями совместности деформаций.

Рассмотрим общие рекомендации и приемы для решения статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).

Рис. 28.1. а – статически определимая система; б – 1 раз статически неопределимая

система; в – 2 раза статически неопределимая система

1. Статическая сторона задачи:

- для отсеченных элементов конструкции, содержащих неизвестные усилия, составляются уравнения статики;

- определяется степень статической неопределимости системы.

2. Геометрическая сторона задачи:

- рассматриваем систему в деформированном состоянии и устанавливаем связи между деформациями и перемещениями отдельных элементов конструкции;

- составляем уравнения совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи:

- на основании закона Гука определяем перемещения (деформации) элементов конструкции через действующие в них неизвестные усилия. При изменении температуры к деформациям, вызванным усилиями, добавляются температурные деформации;

- при решении системы уравнений (статических и физических) определяются неизвестные усилия.

Рассмотрим рис. 28.2, а. Так как система симметрична, то N ₁= N ₂.

Рис. 28.2. а – статически определимая система;

б – 1 раз статически неопределимая система

Составим уравнение равновесия:

, отсюда .

Рассмотрим рис. 28.2, б. Пусть А ₁ = А ₂, отсюда .

Составим уравнение равновесия:

, откуда .

Для определения лишнего неизвестного составим уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим перемещение узла С в результате деформации стержней (рис.28.2, в).

СС ₁ = ∆l ₃ – перемещение узла С и удлинение стержня 3;

СС ₂ = ∆l ₁ – удлинение стержней 1 и 2.

В силу малости деформаций считаем, что угол между стержнями до и после деформации не изменяется, и пренебрегаем величинами второго порядка малости. Используя закон Гука, имеем:

; .

Приравняем эти два выражения, получим:

.

Далее из системы уравнений

находим N ₁, N ₂, N ₃.