Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование

Рассмотрим изгиб балки в одной из главных плоскостей, например, в плоскости yz. Как показывает практика, элементы сооружений испытывают незначительные деформации (y _max/ l = 10^-2…10^-3, где y _max - максимальный прогиб; l - пролет балки).

В данном случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки, являются y (z) и θ (z) = a (z). Из геометрических построений (рис. 9.22) видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поперечного сечения при произвольном значении z равны между собой. В силу малости углов поворота сечений имеем:

θ (z) ≈ tg θ (z) = y′ (z).

Из курса высшей математики известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается формулой

Рис. 9.22. Схема кривой оси балки при поперечном изгибе

.

Если в последнем выражении отбросить величину второго порядка малости, то с учетом формулы

после несложных математических преобразований получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

,

где J_x – момент инерции поперечного сечения балки относительно ее

нейтральной оси;

Е - модуль упругости материала;

EJ_x - жесткость балки.

Уравнение дает возможность вычислить линейные и угловые перемещения сечений. Первое интегрирование дифференциального уравнения определяет закон изменения углов поворота сечений по длине балки:

.

Второе интегрирование полученного выражения позволяет определить функции прогибов точек упругой линии по длине балки:

.

При вычислении интегралов сначала составляем аналитические выражения изгибающего момента и жесткости в зависимости от координаты сечения z, в котором определяются перемещения. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки. Для однопролетной балки прогибы над опорами равны нулю. Для защемленной в опорном сечении балки прогиб и угол поворота равны нулю.