уровень

1.Привести доказательство теоремы о сумме векторов по рисунку:

2.Векторы и перпендикулярны. Докажите, что

3.Составить задачу на применение теоремы о скалярном произведении векторов.

Билет № 29. Неевклидова геометрия Лобачевского.

1. Сформулируйте аксиому Лобачевского и раскройте понятие параллельности по Лобачевскому. Сформулируйте и докажите некоторые теоремы геометрии Лобачевского. Укажите связь с евклидовой (школьной) геометрией. (1) ввести понятие параллельности прямых в смысле Лобачевского и понятие угла параллельности. Ввести понятие функции Лобачевского α=π(х). дать определение расходящихся прямых. 2) Дать понятие геометрии Лобачевского и привети примеры некоторых ее теорем (привести примеры 5-6 теорем, док-ть 2-3 из них). Обязательно доказать теорему о сумме углов треуг-ка и теорему о том, что сумма углов треуг-ка зависит от самого треуг-ка. 3) обязательно сформулировать свойства функции Лобачевского. 4) указать связь с Евклидовой (школьной) геометрие. Как известно, Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского имеют общую часть, которая называется абсолютной геометрией. Она содержит те теоремы, для док-ва которых не требуется понятие параллельности.

Наряду с геометрией Евклида, изучаемой в школьном курсе, имеет место неевклидова геометрия Лобачевского, в основе которой лежит аксиома параллельности Лобачевского.

«На плоскости найдутся прямая а и точка А, не лежащая на а, такие что в данной плоскости через данную точку проходит, по крайней мере, две прямые, не пересекающие прямую а».

Из т. А опустим перпендикуляр на а. Через т. А проведем в данной плоскости перпендикуляр к АВ. По теореме абсолютной геометрии прямая в не пересекает а. Прямая образует перпендикуляр с АВ два угла – острый и тупой. Рассмотрим острый угол, обозначим его α1. Предположим, что в1 вращается вокруг т.А т.о., что угол α1 уменьшается. Т.к. вращение происходит непрерывно, то α1 изменяясь становится непрерывной убывающей величиной ограниченной снизу. Очевидно α1>0. Вращение происходит до тех пор, пока в1 не пересечет а. Из мат.анализа известно, что всякая непрерывная, монотонно убывающая, ограниченная снизу величина имеет точную нижнюю грань, т.е. предел. Т.о. величина α1 имеет предельное значение α0. Назовем α0 предельным углом, через т.А проведем в0 составит угол α0 с перпендикуляром АВ. Очевидно, предельный угол α0 обладает следующим свойством: если прямая в составляет угол α с перпендикуляром АВ, то в случае α > α0 прямая в не пересекает а, если α > α0→ в∩а. Прямую в0 назовем предельной прямой.

Если 4 группам аксиом Гильберта абсолютной геометрии добавить аксиому Лобачевского, то в результате получим геометрическую структуру, которая называется геометрией Лобачевского. Две аксиомы параллельности логически противоречат друг другу, т.е. не могут существовать одновременно. Следовательно геом.Лобачевского отличается от геом.Евклида и является неевклидовой геометрией Лобачевского. Абсолютная геометрия является общей для обеих этих геометрий. Т.е. все теоремы абсолютной геометрии верны как в Евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского. При этом в геом. Лобачевского имеется теорема, которая отличается от Евклидовой (школьной) геометрии. Рассмотрим некоторые теоремы геометрии Лобачевского.

Т-1: В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника строго меньше двух прямых углов, т.е. меньше 2d.

Док-во: По теореме Лежанра-1 абсолютной геометрии, сумма внутренних углов треугольника меньше либо равна 2d. Предположим, что найдется треугольник у которого эта сумма равна 2d. Согласно теореме Лежанра-2 в этом случае сумма углов любого треугольника тоже равна 2d. Т.е. имеет место предложение, которое эквивалентно аксиоме параллельности Евклида. Т.о. в геометрии Лобачевского имеет место аксиома параллельности Евклида, чего быть не может. Из полученного противоречия следует, что сумма углов любого треугольника строго меньше 2d. Из Т-1→Т-2.

Т-2: В геометрии Лобачевского сумма углов любого четырехугольника строго меньше 4d.

Т-3: В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника зависит от самого этого треугольника, т.е. у разных треугольников сумма может быть разной.

Док-во: Рассм. ∆АВС. На АВ возьмем т.М, на АС т.N. Получим ∆АМN.

Рассм. сумму углов треугольников ;

Рассм. разность:

(по теореме 2) . Сумма углов ∆АВС не совпадает с суммой углов ∆АМN. Из док-ва теор.3 получаем важное следствие:

Т-4*: Сумма углов треугольника зависит от его вершины: чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов; чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов.

Как оказывается, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника зависит от его площади, чем меньше площадь треугольника, тем больше сумма его углов.

Т-5: В геометрии Лобачевского существует дополнительный признак равенства двух треугольников, а именно, если у 2х треугольников соответствующие углы конгруэнтны, то эти треугольники равны (конгруэнтны).

Предположим, что даны два треугольника АВС и А1В1С1, у которого соответствующие углы конгруэнтны.

От Верины А отложим сторону А1В1 на сторону АВ, сторону А1С1 на сторону АС. Получим треугольник АВ2С2. возможны варианты: А1В1<АВ; А1С1<АС - этопротиворечит Т-3 (о суме углов треугольников). Все оставшиеся случаи тоже приводят к противоречию. Т.о. остается т. В1 совпадает с т. В, а т.С=С1, что док-ет Т-5. Из Т-5 → Т-6.

Т-6: В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, т.е. не существует подобия фигур.

Др.сл., две геометрии Евкл. И Лобач. Отличаются наличием или отсутствием подобия фигур. Введем важное понятие геом. Лобач. На плоскости рассм. Прямую а и т.А принадлежащую а. Через т. А проведем прямую в||а (в смыле Лобачевского). Будем менять положение т.А на указанный перпендикуляр, приближая или удляя ее от осн.В. Угол α, вообще говоря, зависит от положения т.А, т.е. от отрезка х. Эта звисимость была введена Лобачевским, как функциональная α=α(х). Эта функция называется функцией Лобачевского и обозначается α =π(х).

Т-7: Функция Лобачевского удовлетворяет следующим свойствам

1) π(х) является непрерывной и монотонно убывающей, т.е. чем дальше т.А от а, тем меньше угол параллельности, чем ближе т.А к а, тем больше угол параллельности.

2) Если х→∞, то α→0; если х→0, α →d

В Евклидовой (школьной) геом. угол параллельности формально равен прямому углу. Следоват., если в геом. Лобачевского ограничиться малыми областями (расстояниями), то геом. Лобачевского почти не будет отличаться от Евклидовой геометрии.

МЕТОДИКА 29. Аксиомы стереометрии Тема урока: «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии»Тип урока: урок ознакомление с новым материалом Цели: Обучающая – сформировать представления об основных понятиях и аксиомах стереометрии, их использовании при решении задач, об изображении точек, прямых и плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном расположении в пространстве.Развивающая – развитие математического и общего кругозора, мышления, внимания.Воспитательная – воспитание аккуратности и интереса к математике. Учебник: «Геометрия для 10-11 кл.» Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов Структура урока1. Организационный момент 2мин.2. Вступительная беседа5-7 мин.3. Ознакомление с новым материалом. 10-15 мин.4. Первичное осмысление и применение изученного материала. 15 мин.5. Постановка домашнего задания. 2 мин. 6. Подведение итогов урока. 2 мин. Ход урока. Деятельность учителя. В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой теоремы или при решении задач, располагались на плоскости. Какие примеры плоскости можете привести?Хорошо! Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться в одной плоскости. Например, поверхность стола – модель плоскости Р; возьмём куб и поставим его гранью на стол. Что вы можете, ребята, сказать об элементах куба, о их расположении относительно плоскости Р?Молодцы! То есть можем сделать вывод: плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.

Откройте тетради, запишите и тему урока «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».

Как мы выяснили, одной из задач курса стереометрии является изучение различных случаев комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Перед нами же стоит задача, выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.Для этого введем следующие обозначения: -точки будем обозначать А, В, С и т. д.;-прямые – a, b, c и т. д. или АВ, СD и т.д.;-плоскости – α, β, γ и т.д.Например, на доске изображена плоскость α:1) которой принадлежит точка А, и точка С, которая не принадлежит ей;2) прямая а принадлежит плоскости, прямая b пересекает плоскость, прямая с не принадлежит плоскости;3) плоскости α и β пересекаются по прямой с.Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трёх ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Этот пример служит наглядным подтверждение того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит точка, и притом только одна. Запишите это утверждение.Верно ли, что:-любые три точки лежат в одной плоскости;-любые четыре точки лежат в одной плоскости;-любые четыре точки не лежат в одной плоскости;-через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.Хорошо!Рассмотрим следующую ситуацию: для проверки «ровности» при укладке тротуарной плитки используют брусок, который прикладывают к поверхности дорожки. Если на дорожке есть ложбинки или бугорок, то в каких-то местах между бруском и плоскостью дорожки образуется просвет. Если поверхность дорожки ровная, то между бруском и дорожкой никакого просвета нет, т.е. брусок всеми своими точками прилегает к её поверхности. Это пример служит наглядным подтверждением факта: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Деятельность учащихся В тетрадях записывают обозначения.-точки – А, В, С и т. д.;-прямые – a, b, c и т. д. или АВ, СD и т.д.;-плоскости – α, β, γ и т.д.Рисуют плоскость1) А α, С α2) а α,

Билет № 30. Теорема Эйлера для многогранника.

В дифференциальной геометрии изучаются гладкие поверхности. Если поверхность компактна и не имеет края, она называется замкнутой поверхностью.

Пример: сфера и элипсоид является замкнутыми поверхностями, а параболоиды и гиперболоиды таковыми не являются.

Пусть поверхность V замкнута. Предположим, что на поверхности V задана система линий, которые разделяют поверхность V на отдельные области. Каждую такую область назовем «клеткой». Линии пересекаются в точках, которые назовем «вершинами». Отрезки линий между вершинами назовем «ребрами». Получим так называемое χ разбиение Σ поверхности V. Число вершин обозначим α₀, число ребер – α₁, число клеток – α₂.

Опр.1 Число χ(V)= α₀ – α₁+ α₂ (1) называется эйлеровой характеристикой замкнутой поверхности V.

Эйлерова характеристика поверхности не зависит от разбиения поверхности на клетки и сохраняется при любых непрерывных преобразований поверхности.

Наряду с гладкими поверхностями изучаются просто непрерывные поверхности, которые гладкими могут не являться. Примерами таких поверхностей являются выпуклые многогранники.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком.

Простейшим примером выпуклого многогранника являются тетраэдр, т.е. 4х-гранник или треугольная пирамида. У любого многогранника клетками являются его грани. Найдем Эйлерову характеристику тетраэдра: χ_{(тетраэдр)}=4-6+4=2

Найдем Эйлерову характеристику сферы S₂.

Для этого поместим сферу S₂ во внутрь тетраэдра, спроектируем из центра сферы т.О поверхность тетраэдра на поверхность сферы. При этом каждая грань тетраэдра на сфере изображается в виде клетки, каждая вершина – в виде вершины, а каждое ребро прямолинейное в виде криволинейного. Т.о. можно сделать вывод, что эйлерова характеристика сферы равна 2.

χ(S₂)=2 (1)

Предположим, что дан произвольный выпуклый многогранник М. Поместим сферу во внутрь этого многогранника и спроецируем сферу на поверхность многогранника из центра сферы, т.к. эйлерова характеристика сохраняется при всех непрерывных преобразованиях, то для треугольного выпуклого многогранника М получаем формулу: χ(М)= α₀ – α₁+ α₂=2 (2)

Итак, перепишем равенство (2) в таком виде: α₀ + α₂=α₁+2 (3). Равенство (3) представляет собой знаменитую теорему Эйлера.

Теорема Эйлера: во всяком выпуклом многограннике сумма вершин и граней на две единицы больше числа его ребер.

Из всех многогранников выделяются особые многогранники, которые играют важную роль в природе и технике. А именно, правильные многогранники.

Опр. 2 Многогранник М называется топологически правильным, если каждая его грань содержит одинаковое число вершин и в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Теорема Эйлера или формула (3) позволяет дать полную классификацию правильных многогранников. А именно, в природе существует ровно 5 видов многогранников:

1. Тетраэдр (4-х гранник) – грани треугольники;

2. Гексаэдр (6-ти гранник) – куб – грани четырехугольники;

3. Октаэдр (8-и гранник) – грани треугольники;

4. Додекаэдр (12-ти гранник) – грани пятиугольники;

5. Икосаэдр (20-ти гранник) – грани треугольники.

МЕТОДИКА 30. Урок по теме "Правильные многогранники" в гуманитарном классе

Дифференциация обучения в школе предполагает, в том числе, создание в старшей школе профильных классов. В связи с их появлением перед учителями встает проблема эффективного выбора форм и методов обучения математике учащихся классов разных профилей. При выборе форм и методов обучения необходимо учитывать возрастные и индивидуальные особенности учащихся разных классов. Для учащихся гуманитарных классов больше подходят игровые формы работы, лабораторные работы, моделирование, сопровождение объяснений учителя наглядным материалом культурологического характера. В отличие от учащихся естественно-математических классов, гуманитарии предпочитают коллективные или групповые формы работы. Разбиение на группы можно организовать перед началом или в самом начале урока следующим образом. Учитель готовит карточки с высказываниями известных математиков. Число этих карточек должно совпадать с числом учащихся в классе. Число высказываний зависит от числа формируемых групп. Практика показала, что на уроке, описанном ниже, удобно работать с 3-4 группами. Ученики рассаживаются по группам после выбора одной из карточек, например, следующего содержания:

“В геометрии нет царского пути” Евклид.

“Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук” Льюис Кэрролл.

“Несравненное удовольствие, которое я испытал от этого открытия, невозможно выразить словами” Иоганн Кеплер.

“Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать” Пифагор.

Более высокая устойчивость внимания учащихся естественно-математических классов, чем у учащихся гуманитарных классов, требует при работе с последними, более частой смены деятельности учащихся. На данном уроке учащиеся дискутируют, работая в группах, моделируют, анализируют существенные свойства правильных многогранников, решают задачи, отвечают на вопросы межпредметного характера, слушают объяснения учителя, участвуют в построении доказательства. Преобладание абстрактно-логического мышления у учащихся естественно-математических классов и наглядно-образного – у учащихся гуманитарных классов определяют и разный уровень строгости математических доказательств. Так, например, существование пяти правильных многогранников в естественно-математических классах устанавливается с помощью строгого доказательства с использованием теоремы Эйлера и, кроме того, выясняется способ их построения. В гуманитарных классах при рассмотрении этого факта применяются в большей степени нестрогие рассуждения о возможной величине многогранного угла.

Конспект урока по теме “Правильные многогранники”

Цели урока:

Образовательные: Дать понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их названия, и где они применяются. Осуществить связь между новым материалом, ранее изученным и изучаемым в дальнейшем. Показать межпредметные связи.

Воспитательные: Всесторонне способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий.

Цель изучения:

• Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками, их характеристиками и рядом интересных особенностей.

• Познакомить с наиболее известными научными гипотезами и фактами, связанными с правильными многогранниками в трудах ученых.

• Показать связь геометрии и природы.

Структура урока:

1 этап - организационный (вступительное слово учителя)

2 этап - усвоение нового материала (объяснение материала учителем + физкультминутка).

3 этап - проверка домашнего задания

4 этап - закрепление новых знаний.

5 этап - самостоятельная практическая работа

6 этап - подведение итогов урока

7 этап - задание на дом

Инструменты и оборудование урока: На столах у каждой группы находятся модели всех правильных многогранников, кроме октаэдра, а также модели многогранников, не являющихся правильными, например, правильной четырехугольной пирамиды, прямоугольного параллелепипеда, треугольной пирамиды, ромбододекаэдра, “трехмерного креста”. Вывешиваются плакаты с изображениями правильных многогранников. Каждой группе раздается печатный материал: карточки с заданиями, наглядный материал, таблица. Возможно, и даже целесообразно, применение геометрических конструкторов.

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

Сегодня наш урок посвящен “удивительным игрушкам в руках математиков всех времен” – правильным многогранникам. Сегодня на уроке мы рассмотрим различные виды правильных многогранников, а также будем их моделировать. Изучение этого материала нам поможет в конце урока обратиться к красивой геометрической модели, описывающей движение планет.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

- У вас на партах есть правильный многогранник, знакомый Вам еще с дошкольного возраста. Покажите его.

Ученики демонстрируют модель куба.

- Перечислите элементы куба. Есть ли среди них равные?

Ученики указывают на равенство всех ребер, граней, двугранных углов.

- Существуют и другие многогранники, имеющие такие же, как и у куба, свойства. Они называются правильными многогранниками, а куб – их типичный представитель.

3. Ознакомление с новым материалом и его первичное осмысление.

- Найдите в учебнике определение правильного многогранника, прочитайте его и выделите все его существенные свойства (характерные признаки).

Ученики выделяют четыре свойства:

1) выпуклый,

2) грани – равные многоугольники,

3) грани – правильные многоугольники,

4) в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер.

- Используя модели на Ваших партах, укажите многогранник, для которого не выполняется, например, первое свойство определения; второе свойство и т.д.

- Разделите многогранники у Вас на партах на две группы: правильные многогранники и многогранники, не являющиеся правильными.

Ученики выполняют задание учителя, причем в группе правильных многогранников оказываются только четыре (куб, тетраэдр, додекаэдр, икосаэдр).

- Выпишите определение правильного многогранника в тетрадь.

В тетрадях у учеников появляется следующая запись “Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер”.

- Автор чудесной сказки “Алиса в стране чудес” Льюис Кэрролл говорил, что “правильных многогранников вызывающе мало”. Как Вы думаете, сколько их? Все ли они представлены на Ваших партах или существуют еще какие-то.

Учитель может доказать существование только пяти правильных многогранников, используя следующее утверждение: “Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360°”. Убедиться в том, что гранью правильного многогранника является только правильный многоугольник, у которого угол меньше 120°, ученики могут с помощью моделирования с геометрическим конструктором.

- Как отмечают историки, о существовании только пяти правильных многогранников знал еще Пифагор (VI век до н.э.), но первым удалось доказать это Евклиду (III век до н.э.). У вас на партах их только четыре. Укажите их.

Какой отсутствует?

- Что мы знаем о пятом многограннике?

У него восемь граней и все грани правильные треугольники. Его следует назвать октаэдром (по числу граней).

- У вас на партах геометрический конструктор. Соберите с его помощью модель октаэдра.

Ученики в группах моделируют. Когда октаэдр собран, учитель подчеркивает необходимость доказательства того, что собранный руками учеников многогранник является правильным. Ученики, используя определение, обосновывают свой вывод.

4. Демонстрация изученного материала в науке, искусстве и окружающем мире.

После доказательства Евклидом существования пяти правильных многогранников молодой ученый Иоганн Кеплер (в 1597 году, тогда ему было 25 лет) обратился к правильным многогранникам, чтобы описать движение планет. Обратимся к размышлениям юного Кеплера: “Вокруг Солнца описана самая большая сфера, по ней движется Сатурн. Теперь в нее впишем куб, а в этот куб – снова сферу, которая определит собой орбиту Юпитера. Если в эту меньшую сферу вписать тетраэдр, а в него опять сферу, то получится орбита Марса. Далее между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой – икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделит октаэдр”.

Ученики видят перед собой изображение “Космического кубка” Кеплера и внимательно следят за речью учителя. Изображение “Космического кубка” Кеплера можно найти в литературе.

- Что вы можете сказать об истинности гипотезы Кеплера?

Ученики указывают, что на данный момент времени в Солнечной системе известно девять планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон. Все они вращаются вокруг Солнца? центральной звезды. Может кто-нибудь из учащихся отметит, что орбитами движения являются не окружности, а эллипсы.

- Вы опровергли гипотезу Кеплера с помощью астрономических знаний. А, как, используя знания XXI века, опровергнуть эту красивую гипотезу. Сейчас призовем на помощь “царицу наук” математику. Схематично модель Кеплера можно представить следующим образом. Сравним отношение радиусов орбит, например, Сатурна и Юпитера с точки зрения Кеплера и с точки зрения современных знаний.

Ученики в группах убеждаются:

- “По Кеплеру” Rc: Rю приблизительно 1,73.

- С точки зрения современных знаний Rc: Rю приблизительно 1,81 (Справка: Средние радиусы орбит Сатурна и Юпитера равны Rc = 1,427*109 км и Rю = 0,788*109 км).

Расхождение значений достаточно весомое.

- Выбор Кеплером пяти правильных многогранников был ошибочен. Он сам признал это, потратив 2 года на вычисления. И вместе с тем, как утверждают историки науки, именно работа над этой моделью способствовала открытию трех знаменитых законов Кеплера.

Не только ученые выбирают правильные многогранники для создания тех или иных моделей. Часто природа сама выбирает правильные многогранники. Попробуйте отгадать выбор природы.

Группам учеников раздаются карточки с заданиями.

Карточка 1. Отгадайте правильный многогранник:

Грани этого многогранника связаны с “золотым сечением”.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана, кристаллы которого имеют форму _________.

Его удобно использовать для печати календарей.

Правильный _____________ изображен на картине С. Дали “Тайная вечеря”.

В школе Пифагора этот многогранник символизировал Вселенную

Карточка 2. Отгадайте правильный многогранник:

“Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно сказать, супруга _______, ибо центры граней куба соответствуют вершинам _________” Иоганн Кеплер.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму ______________.

Алмаз – самый твердый из минералов. Он может раскалываться в четырех направлениях, параллельно граням правильного ___________. Это свойство используют в ювелирном деле для придания камню необходимой формы перед огранкой.

В школе Пифагора этот многогранник символизировал воздух.

Карточка 3. Отгадайте правильный многогранник:

Этот многогранник был игральной костью династии Птолемеев.

Форму вируса гриппа часто сравнивают с формой этого многогранника.

Его форму имеет кристалл бора. Бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

В школе Пифагора этот многогранник символизировал воду.

В карточках последовательно зашифрованы додекаэдр, октаэдр и икосаэдр.

5. Домашнее задание. Оглянитесь вокруг, откройте книги и расскажите на следующем уроке, где в окружающем мире нам встречаются куб и тетраэдр.