Билет № 25

Важной фигурой в геом. Евклида является многоугольник.

Рассмотрим 2 прямые а и в. Эти прямые делят плоскость на две полуплоскости (каждая из них). Предположим, что т.А = а∩в. Выберем некоторый угол.

Как известно, угол является частью плоскости и определяется как пересечение соответствующих полуплоскостей. Рассм. некот. выпуклую замкнутую линию.

Замкнутая линия наз. выпуклой, если для любого его звена а_i все остальные звенья этой ломаной лежат в одной полуплоскости относительно этого звена.

Простая замкнутая(концы совпадают)ломаная наз. многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Звенья ломаной наз. сторонами мног-ка, а т., в кот. пересекаются эти звенья – вершинами многоуг-ка.

Рассмотрим вопрос о величине многоуг-ка. Под величиной многоуг-ка понимают площадь. Мн-во всех многоуг-ков обозн. М. сами многоуг. бедем обозн. латинскими буквами.

Рас-м отображение F:M®R⁺, каждому мн-ву ставит в соотв. некоторое строго положит-ное действит-ное число (R⁺) Отображение F наз. ф-цией площади, заданной на мн-ве М, если отображение F:M®R⁺, удовлетв. требованиям:

1.если А=В, то F(A) = F(B)

2.если С разбит на 2 многоуг. А и В без общих внутр (.), то F(C)=F(A)+F(B)

3. если А явл. единичным кв-том, т.е. кв-том у кот. сторона º1, то F(A) =1

Число F(М)=Sм и наз. площадью многоуг m.

$ет ли f-ия площади на мн-ве многог-ов М, если $ет, то однозначно ли она определяется?

Предположим вначале, что f-ия площади F $ет, т.е. каждому многоугольнику М в соотв. став-ся число Sм, к-ое наз. его площадью (М® Sм)

Виды многоугольников. Прямоугольник со сторонами а и b.

Разделим М вертик. чертой на 2 прямоуг. А и В

М

A B

b a1 a2

Sм = F(M) = F(a,b) S_А= F(a₁,b); Sв= F(a₂,b)

По 2° f-ции площÞ F (М) = F(A) + F(B) Þ F(a,b) = F(a₁,b) + F (a₂,b),т.к а=a₁+a₂Þ F(a₁+a₂,b) = F(a₁,b) + F(a₂,b) (1)

(1) фун-ция F явл. линейной по первому арг. а.

Аналогично разбиваем М горизон.пр. Þ F(a,b₁+b₂)=F(a,b₁)+F(a,b₂) (2)

(2) т.о. f-ия явл. линией по обоим своим арг. т.е. явл. линейной. В теории f-ий док-ся, что всякая линейная f-ия от 2х агр. Имеет след. вид F(x,y)=k x y (3) т.о. Sм= k x y (4)

Воспользовавшись 3° f-ии S: Предположим что М явл. ед.квадратом, т.е. a=b=1, т.к. S=1Þ из (4) Þ1=k*1*1Þ k =1.т.о. (4) принимает окончат-ый вид Sм= ab (I) т.о. Sпрямоуг = произвед. его сторон

Параллелограмм с основанием а и высотой h.

Рас-м прямоуг. KNCD. Легко док-ть, что ∆AKD≡∆BNCÞAK=BNÞKN=aÞ S_KNCD=ah (5) с др.стороны и АВСD, и KNCDсостоит из 2х одинаковых частей: ∆AKD (∆BNC); многоугольник KВСD. Применим 1°и 2°Þ S_АВCD =S_KNCDÞ S=ah (II)

М-∆ с основанием а и высотой h (III)

Произвольный многоугольник Разобьем его к.-либо образом на ∆-ки, измерим S каждого из полученных ∆-ков по (III)и возьмем сумму этих S.Эта сумма и наз. площдью мног-ника М

Зам-е: S многогранника М не зависит от способа его разбиения.

Идея доказательства следующая: S_А = S_А1 + S_А2;

А1 S_А = S_В1 + S_В2.

А2 В1 В2

Объединив 2 разбиения, получим более мелкое разбиение многоуг-ка М:

Ŝ_А = (S_С2 + S_С3) + (S_С1 + S_С4) = (S_С1 + S_С2) + (S_С3 + S_С4) = S_А1 + S_А2 = S_АÞŜ_А = S_А

Из всего выше сказанного след., что если функция площади F на мн-ве многоуг-в М существует. То она опред-я единственным образом.

Д-м теперь, что ф-ция площади М существует.

Рассм. произв-й мн-к А, разобъем его каким-либо образом на треуг. (А1,А2,…,Аn). S каждого опред-м по (III)

S_А = (IV) – построенная функция удовлетворяет всем 3м требованиям опре-я площади.

Учитывая все сказанное можно сформулировать след. Т:

Теорема (Существование и единственность функции площади)

На мн-ве мног-ков М в евкл. геомет., ф-ция площади сущ-ет и определена единств. образом.

Два многоугольника называются равновеликими, когда их площади равны.

Два мног-ника наз. равносоставленными, если они состоят из одного и того же набора (множества)треугольников.

Теорема: Из равносоставленности двух мног-ков следует их равновеликость (и наоборот).

Вывод: Из равновеликости двух многогранников не следует их равносоставленность (каждый многогранник можно разбить на тетраэдры).

МЕТОДИКА 25. Урок обобщения и систематизации знаний

МЕТОДЫ:Беседа,Лекци,Работа с учебником.Схематические рисунки,Лабораторные и практические работы Для более успешного выполнения учащимися подобных заданий некоторые учителя практикуют составление учащимися сравнительных таблиц по предварительно разработанной схеме инструкций, в которой сформулирована последовательность выполнения задания на сравнение и обобщение. Подобные задания могут выполняться и устно. Они способствуют повышению эффективности обобщения и систематизации знаний, заготовке необходимых схем инструкций, моделей, образцов, таблиц. Важное значение имеет предупреждение ошибок в знаниях учащихся и своевременное их исправление.