Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси (рис. 3). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости. Будем считать, что на отрезке величина есть функция от x, т. е.

2. Находим дифференциал функции Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема .

3. Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от

.

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Объем тела вращения.

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.

Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси , есть круг с радиусом . Следовательно,

Применяя формулу (4) объема тела по площади параллельных сечений, получаемрис 4

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (5), равен