Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси .

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом (рис. 5). Величина поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от , т.е.

и

2. Дадим аргументу приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция получит приращение . Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна , а радиусы оснований равны и . Площадь его боковой поверхности равна

Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем получаем , или, так как

, то

3. Интегрируя полученное равенство в пределах получаем

.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями то формула для площади поверхности I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AD0aFwrBAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET02LwjAQvS/4H8II3tZUQV26RlkEQY/W 9bC3oZltyiaT2kRb/fVGEPY2j/c5y3XvrLhSG2rPCibjDARx6XXNlYLv4/b9A0SIyBqtZ1JwowDr 1eBtibn2HR/oWsRKpBAOOSowMTa5lKE05DCMfUOcuF/fOowJtpXULXYp3Fk5zbK5dFhzajDY0MZQ +VdcnILu7Gf7XVGceksLc5d7+9OcT0qNhv3XJ4hIffwXv9w7nebPF/B8Jl0gVw8AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL3Bp Y3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAD0aFwrBAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAnwIA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACNAwAAAAA= "> вращения принимает вид