Нетрудно убедиться в том, что

**х ^{= а}х ⁺ 1 ^{ИЛИ а}х+\ * ^{V = а}х*

^а*-<\ л

"х+п+ 1 -"х+и+М

Tfx-A

Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следую­щие выражения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

N™ N_x 11

D_x D_x 24

Немедленный ограниченный аннуитет:

,_m JV<'²>- tf<¹²> ^ - *,♦, - ^(D_x - D_XH)
D_x D_x

™х+п ~ ™х+я+/ "~ ^Т ["х+п ~ Vx+n+t)

Ш* 30:51" П

10465,3 - 5826,7 -;$j(l 124,8 - ⁶⁷³'¹)

------------------------ —24^--------------------- L. 0,60484.

731Q3

Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следую­щие соотношения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

_д(.2> *С **+,, И

D_x D_x 24

Немедленный ограниченный аннуитет:

_в(12) _ш jc-»I _____ Х+/+1 _ш

х-А _D

(16.29)

(16.30)

^х+1 - ^x*t*\ + ^т(^*+1 - At+/+l)

Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:

°* (16.32)

^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l)

Современные стоимости регулярных потоков платежей (обо­значим их, как это принято в финансовой математике, через А_х) определяются элементарно. Если размер годового платежа ра­вен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых пла­тежей пренумерандо имеем А_х = R х а_х> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Л_х = Rx Jl_xvl т.д.

ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких ва­риантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегод­ные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма го­дового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.

Таблица 16.4

Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхо­вого аннуитета:

— демографический фактор, отражаемый таблицей смертно­сти,

— процентная ставка (установленная норма доходности),

— длительность отсрочки выплат,

— срок аннуитета.

Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России де­мографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедлен­ных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух ва­риантов процентной ставки — 9 и 5 %.

Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов

Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость анну­итета для женщин выше, чем для мужчин.

Влияние процентной ставки очевидно — повышение про­центной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и

табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих рав­ных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, ес­тественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).

л|»х

О) - П

Рис 16.1

Рис 16.2

В следующей главе показано, как стоимости страховых анну­итетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах лич­ного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АН К ИЛ, 1995.

2. Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пен­сионных схем). Зеленоград, 1995.

3. Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском стра­ховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.

Глава 17 ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ