Таблицы смертности и страховые вероятности

Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необ­ходимы исходные данные, характеризующие совокупность за­страхованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические за-

ззз

кономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель про­цесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокуп­ности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста со. Она является обобще­нием данных демографической статистики за некоторый пери­од времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистиче­скими органами для страны в целом, а также для крупных эконо­мических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола¹.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, ко­торые приписываются как справа, так и слева от основной пе­ременной. Например, л, je^i и т.д.

Основной показатель таблицы смертности — число людей 1_Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /₀, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таб­лице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для акту­арных расчетов применяют полные таблицы смертности, в ко­торых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины 1_Х (кроме /₀) определяются расчетным путем на ос­нове заданных вероятностей смерти (q_x), или, что реже, коли­чества умерших (d_x). В современных таблицах смертности ис­ходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е до­ля умерших в возрасте от х до jc -I- 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе дан­ных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

¹ Подробные методики разработки таблиц смертности, включая приемы вы­равнивания данных, рассматриваются в курсах демографии. Некоторые перво­начальные сведения по данной проблеме можно получить в "Статистическом словаре". М.: Финансы и статистика, 1989.

Помимо показателей 1_Х таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (d_x). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смерт­ности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет¹.

Таблица 16.1 Фрагмент таблицы смертности

* Округлено до целых чисел.

Показанные в таблице величины 1_Х и d_x сами по себе не име­ют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности.

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соот­ношениями²:

¹ Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). Показатели таб­
лицы получены на основе вероятностей q_x из таблицы смертности населения
СССР за 1984—1985 гг. (журнал "Вестник статистики''. 1987, JSfe 3).

² В таблицах, непосредственно применяемых в страховых расчетах, значе­
ния 1_Х и d_x для повышения точности расчетов, особенно в старших возрастах,
не округляют до целых чисел.

'х+1 'х "х> "х 'х ^х Ч_х\ Ч_х = 1 - Рх = 1 -

Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, яв­ляется минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на до­житие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и ме­дицинском страховании применяют таблицы выбытия (decre­ment tables), в которых помимо смертности учитываются и дру­гие причины сокращения числа участников страхования.

Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертно­сти нетрудно получить систему вероятностей дожития, необхо­димую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + п:

пРх = ^Т- 06.1)

Вероятность прожить еще один год после возраста х лет:

d_x (c+i

Рх = ^, ~ Чх = ^! - "Т =

ПРИМЕР 16.1. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит¹:

/до 92 327 «лРол = — - ***** = 0,95191. ¹°^Рз° /до 96 991 ^u'*⁰¹*'-

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность уме­реть в возрасте от jc до х + п:

¹ Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности на­селения СССР 1984—1985 гг.

Wx-l-^x-^y^-f Ydj. (16.2)

ПРИМЕР 16.2. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет уме­реть в течение 10 следующих лет определяется как

ю^зо ^{= 1} " ю^зо ^{= 1} " 0,95191 = 0,04809.

Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит:

ХТЩ JCt/Я Хт/П i\C *>\

niflx ⁼ тРх ^х Ях+т ⁼ ~Г~ * 1 ⁼ ~~ Т~' ⁽ '

_п ^Ч^ 95 821-94 951
31^30-—j— geg^ -0,00897.

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо-

го из них. Обозначим эти вероятности как _пр_х\ _пр. Определим их следующим образом:

_ ^х+п — у*^п

пРх ~~ i ' пРу ~~ [ >
х у

rflx ~~ nPx⁹ rfly ~~ пРу

пРху⁼ _ПРх*пРу = -у-*1= / _х/ ' ^(1б-⁵⁾