Относительно оси вращения

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 16).

Выделим произвольную точку M_k с координатами x_k, y_k, z_k, движущуюся со скоростью . Очевидно, что траектория движения точки M_k – это окружность радиусом , с центром O ^/ на оси вращения.

Рис. 16. Кинетический момент вращающегося твердого

тела относительно оси вращения

По третьей формуле (4.18^/) определим кинетический момент рассматриваемой точки относительно оси Oz:

(А)

где m_k – масса рассматриваемой материальной точки.

Из геометрических соображений, получим

,

,

.

Подставляя (В) в (А), получим

.

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим

.

Из кинематики твердого тела известно, что

.

Окончательно для кинетического момента точки M_k получим

.

Суммируя, по всем точкам, получим выражение для определения кинетического момента твердого тела относительно оси вращения Oz

.

По формуле(3.4) имеем - момент инерции тела относительно оси Oz.

Окончательно для кинетического момента твердого тела относительно оси его вращения, получим

. (4.20)

Таким образом, кинетический момент вращающегося твердого тела относительно его оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость тела.