Непрерывной на отрезке

Если функция y=f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a,b ], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений (в соответствии с теоремой Вейерштрасса). Наибольшее М и наименьшее m значения функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка (рис.1), либо на его концах (рис.2).

Возможны различные комбинации указанных случаев. Важно понять следующее: чтобы найти максимальное М и минимальное m значения при , следует найти все критические точки внутри отрезка, а затем присоединить к ним две крайние точки отрезка: x=a и x=b, во всех точках вычислить значения функции и отобрать среди них наибольшее и наименьшее.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Ищем значения y (x) в трех точках: на концах интервала, т.е. при х= –1, х=2 и в критической точке х=1:

y (–1)= –7; y (1)= 1; y (2)= 2. Итак: m= –7; M=2.