Градиент

Пусть в некоторой области задана функция . Введем вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных :

.

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят также, что в области определено векторное поле градиентов (в каждой точке имеется свой вектор градиента). Сами же значения называют скалярным полем (т.к. значения – скаляры, т.е. числа).

Теорема.

Пусть дано скалярное поле и в этом скалярном поле определено поле градиентов

.

Тогда производная по направлению вектора равна проекции вектора на вектор :

пр . (3.11.1)

Геометрически формулу (3.11.1) можно трактовать с помощью следующего рисунка

Здесь – угол между векторами и . Таким образом

. (3.11.2)

Из определения градиента и формул (3.11.1) (3.11.2) следуют свойства градиента:

1) Производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента ( на приведенном выше рисунке); это наибольшее значение производной равно . Другими словами, скалярное поле максимально изменяется в направлении градиента.

2) Производная по направлению, перпендикулярном градиенту, равна нулю: в этом случае . Таким образом, в направлении, перпендикулярном градиенту, функция не изменяется (мы находимся на поверхности заданного уровня ).

Пример 1.

Найти градиент функции в точке .

Для функции двух переменных градиент, очевидно, находится в виде:

.

В нашем случае

.

Тогда .

Пример 2.

Для функции найти величину и направление в точке .

,

поэтому .

Очевидно, , а направляющие косинусы вектора равны:

.