Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочленаЗададим произвольное число а и в правой части (1) сделаем замену Теперь раскроем все квадратные скобки и приведем подобные члены с одинаковыми степенями (x–a). В результате получим Равенство (2) называется разложением многочлена P (x) по степеням (x – a), а числа называется коэффициентами этого разложения. Будем последовательно дифференцировать равенство (2):
В последнем равенстве положим : Формула (4) называется формулой Тейлора разложения многочлена степени n по степеням (x – a). Если а=0, то формула называется формулой Маклорена:
Пример: Бином Ньютона. Пусть , где а – произвольное число, а n – натуральное число. k -я производная равна: Это формула бинома Ньютона. Если обозначить то формула записывается в виде . Числа называются биномиальными коэффициентами. Эти коэффициенты обладают следующими свойствами (доказать самостоятельно): равенства можно легко вычислить для любых n и k, пользуясь только одним действием сложения.
Располагая коэффициенты при различных n в отдельные строки, получим так называемый треугольник Паскаля. 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 …………………. В строке, соответствующей конкретному значению n, находится (n+1) число: Примеры. .
Выведем теперь формулу Тейлора для произвольной функции. Пусть в окрестности точки а задана функция f (x), не являющаяся многочленом степени n–1, но имеющая в точке а производные до n -го порядка включительно. Это многочлен степени (n–1). Он называется многочленом Тейлора степени (n–1) функции f (x) по степеням (x–a). Если бы исходная функция f (x) была многочленом степени (n–1), то выполнялось бы тождество f (x) =Q (x) для всех х из нашей окрестности. Но в данном случае это тождество не имеет места, т.к. мы предположили, что f (x) не есть многочлен степени (n–1). Здесь , где Q (x) определен формулой . Индекс (n–1) выписан для удобства, чтобы подчеркнуть, что Q (x) – многочлен степени (n–1). Равенство называется формулой Тейлора функции f (x) в окрестности точки x=a, а – остаточным членом или n -м остатком формулы Тейлора. Оказывается, остаточный член может быть записан в весьма изящной форме: либо в форме Лагранжа, либо в форме Коши. Форма Лагранжа: Точка зависит от x и n. Обычно точное значение неизвестно, но можно утверждать, что находится на интервале (a,x), при этом х можно считать как большим, чем а, так и меньшим, чем а. Другой вид формы Лагранжа: Остаточный член, записанный в форме (*) или (**), обычно используют для оценки точности приближенного вычисления функции f(x) в точке x, отличной от a.
|