Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производные высшего порядка. Формула Лейбница
Если найдена производная от функции f (x), т.е. вычислена – снова функция аргумента х. Можно еще раз найти производную от . Если эта производная существует, то она называется второй производной от f (x) и обозначается через или . . По индукции производная n -го порядка определяется как первая производная от производной (n–1) порядка . Пример 1. Пусть , где m – целое число. Эта функция имеет производные любого порядка. 2. Пусть , где - произвольное (не целое) число. Тогда для x>0 эта функция имеет любую производную, вычисляемую по аналогичной формуле: 3. 4. Формула Лейбница Это формула дает возможность вычислить производную n -го порядка от произведения двух функций u (x) v (x). Давайте найдем несколько первых производных и установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка. Вспомним бином Ньютона: Если в этой формуле заменить (соответственно считая, что ), то и получим формулу, которая носит название формулы Лейбница. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически 1. Сначала покажем способ нахождения производных различного порядка от неявных функций (на примере). Пусть – неявная связь у и х (у не выражен явно через х). Или (1) Дифференцируем по х обе части равенства, имея в виду, что у есть функция х: . Отсюда: . Первая производная найдена, но выражена она и через х и через у. Последнее равенство еще раз дифференцируем по х (имея опять в виду, что у=у (х)). Подставляя вместо ее значение (зависящее от х и у), найдем Из (1) заметим, что , так что Дифференцируя по х полученное равенство, найдем и.т.д.
Производная второго порядка от функции, заданной параметрически Мы знаем формулу для первой производной Продифференцируем это равенство по х, имея в виду, что t – функция х.
Пример.
|