Замечание 1

Обратное утверждение неверно. Именно из существования предела

следует наличие предела , но не наоборот!

Замечание 2.

Если и производные удовлетворяют тем условиям, которые наложены на f и , то

Формула (1) называется правилом Лопиталя по имени французского математика, применившего ее для весьма простых случаев. Впрочем, до Лопиталя это правило было известно швейцарскому математику Бернулли.

Примеры использования правила Лопиталя:

В последнем случае правило Лопиталя было применено трижды, т.к. неопределенность вида получалась как для функций, так и для первых и вторых производных.

Теорема 2.

Пусть функции непрерывны и имеют производные в окрестности (в частности, в левой или правой окрестности) точки а (конечной или бесконечной), за исключением самой точки а.

При этом в указанной окрестности и

.

Тогда, если существует предел то существует равный ему предел (без доказательства).

Пример 1.

Легко доказать, что для любого натурального n

Пример 2.

Мы рассмотрели примеры раскрытия неопределенностей вида или . Встречаются неопределенности вида:

Путем подходящих замен переменных они, как правило, сводятся к неопределенностям вида или .

Пример 3.

Пример 4.